Назад

Олимпиадная задача: Сумма и произведение периодических дробей, периоды, 8-11 класс

Задача 209839 • Сложность: 3 • 8-11 класс
Задача

Сумма и произведение двух чисто периодических десятичных дробей – чисто периодические дроби с периодом T.

Докажите, что исходные дроби имеют периоды не больше T.

Авторы:
Голованов А. С.
Разделы:
Дроби Многочлены Последовательности
Источники:
Олимпиады и турниры Всероссийская олимпиада по математике 2005-2006 Заключительный этап
Количество версий:
4
Решение

  Домножим наши две дроби a и b на число  10T – 1.  Получатся два новых рациональных числа  A = (10T – 1)a  и  B = (10T – 1)b.  Числа

A + B = (10T – 1)(a + b)  и  AB = (10T – 1)&sup2ab  целые, так как чисто периодическая дробь с периодом T после домножения на  10T – 1  становится целым числом. Но два рациональных числа, сумма и произведение которых целые, являются корнями приведённого квадратного уравнения с целыми коэффициентами, то есть сами являются целыми числами (см. задачу 161013).

  Значит, a и b могут быть записаны в виде обыкновенных дробей со знаменателем  10T – 1,  откуда и следует утверждение задачи.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет