Олимпиадная задача Агаханова: Переливания воды и дроби для 7-10 классов
Задача
Имеется семь стаканов с водой: первый стакан заполнен водой наполовину, второй – на треть, третий – на четверть, четвёртый – на ⅕, пятый – на ⅛, шестой – на 1/9, и седьмой – на 1/10. Разрешается переливать всю воду из одного стакана в другой или переливать воду из одного стакана в другой до тех пор, пока он не заполнится доверху. Может ли после нескольких переливаний какой-нибудь стакан оказаться заполненным а) на 1/12; б) на ⅙?
Решение
а) Если вместимость стакана считать равной 1, то в первых трёх стаканах в сумме 11/12 воды. Перельём в первый стакан всю воду из второго, а затем из третьего, пока первый не заполнится. После этого в третьем стакане окажется 1/12. б) Докажем индукцией по количеству переливаний, что количество воды в непустом стакане после переливаний есть либо 1, либо дробная часть суммы некоторых из чисел ½, ⅓, ¼, ⅕, ⅛, 1/9, 1/10, при этом в разных стаканах в суммах участвуют неповторяющиеся числа.
База очевидна.
Шаг индукции. Пусть в стаканах A и B количество воды равно a и b соответственно. Если из стакана A в стакан B переливается вся вода, то новые количества составляют 0 и a + b, а если стакан B наполняется из A доверху, то a + b – 1 и 1. Теперь ясно, что утверждение осталось истинным.
Пусть ⅙ = {a1 + ... + ak}, где ai – некоторые из чисел ½, ⅓, ¼, ⅕, ⅛, 1/9, 1/10. Тогда в этой сумме нет чисел ¼, ⅕, ⅛, 1/9, 1/10. Действительно, если там присутствует хотя бы одно из чисел ⅕ или 1/10, одно из чисел ¼ или ⅛ или число 1/9, то знаменатель получившейся дроби делится на 5, 4 или 9 соответственно. В то же время число 6 не делится ни на одно из этих чисел. Из чисел же ½ и ⅓ невозможно сложением получить число с дробной частью ⅙.
Ответ
а) Может; б) не может.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь