Олимпиадная задача: Дроби, Многочлены и Делимость для 9-11 класса — сложность 3/5
Задача
Даны положительные рациональные числа a, b. Один из корней трёхчлена x² – ax + b – рациональное число, в несократимой записи имеющее вид m/n. Докажите, что знаменатель хотя бы одного из чисел a и b (в несократимой записи) не меньше n2/3.
Решение
Пусть a = k/c, b = l/d. Пусть некоторое простое p входит в разложение числа n на простые множители в степени α. По условию m²/n² – km/cn + l/d = 0, при этом p входит в разложение знаменателя первой дроби в степени 2α. Если в разложения обоих остальных знаменателей число p входит в меньших степенях, то итоговая дробь не может оказаться целым числом. Значит, либо cn, либо d кратно p2α, то есть либо c кратно pα, либо d кратно p2α. В любом случае, число c²d делится на p2α. Поскольку аналогичный факт верен для каждого простого делителя n, то c²d делится на n². Отсюда c²d ≥ n², следовательно одно из чисел c, d не меньше n2/3.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь