Олимпиадные задачи по математике для 1-9 класса - сложность 3 с решениями

Для натуральных чисел  <i>a</i> > <i>b</i> > 1  определим последовательность  <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ...  формулой   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116644/problem_116644_img_2.gif"> .   Найдите наименьшее <i>d</i>, при котором ни при каких <i>a</i> и <i>b</i> эта последовательность не содержит <i>d</i> последовательных членов, являющихся простыми числами.

Найдите все такие натуральные <i>n</i>, что при некоторых отличных от нуля действительных числах <i>a, b, c, d</i> многочлен  (<i>ax + b</i>)¹⁰⁰⁰ – (<i>cx + d</i>)¹⁰⁰⁰  после раскрытия скобок и приведения всех подобных слагаемых имеет ровно <i>n</i> ненулевых коэффициентов.

Существуют ли три попарно различных ненулевых целых числа, сумма которых равна нулю, а сумма тринадцатых степеней которых является квадратом некоторого натурального числа?

Назовём тройку натуральных чисел  (<i>a, b, c</i>)  <i>квадратной</i>, если они образуют арифметическую прогрессию (именно в таком порядке), число <i>b</i> взаимно просто с каждым из чисел <i>a</i> и <i>c</i>, а число <i>abc</i> является точным квадратом. Докажите, что для любой квадратной тройки найдётся другая квадратная тройка, имеющая с ней хотя бы одно общее число. (Тройка  (<i>c, b, a</i>)  новой тройкой не считается.)

При каких натуральных  <i>n</i> > 1  существуют такие натуральные <i>b</i>₁, ..., <i>b_n</i>  (не все из которых равны), что при всех натуральных <i>k</i> число

(<i>b</i>₁ + <i>k</i>)(<i>b</i>₂ + <i>k</i>)...(<i>b_n + k</i>)  является степенью натурального числа? (Показатель степени может зависеть от <i>k</i>, но должен быть больше 1.)

Существуют ли такие простые числа <i>p</i>₁, <i>p</i>₂, ..., <i>p</i>₂₀₀₇, что  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111788/problem_111788_img_2.gif">  делится на <i>p</i>₂,  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111788/problem_111788_img_3.gif">  делится на <i>p</i>₃, ...,  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111788/problem_111788_img_4.gif">  делится на <i>p</i>₁?

Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия, состоящая из натуральных чисел, содержит точный куб натурального числа.

Докажите, что она содержит и точный куб, не являющийся точным квадратом.

При каких натуральных <i>n</i> найдутся такие целые <i>a, b, c</i>, что их сумма равна нулю, а число  <i>aⁿ + bⁿ + cⁿ</i>  – простое?

При каких натуральных <i>n</i> найдутся такие положительные рациональные, но не целые числа <i>a</i> и <i>b</i>, что оба числа  <i>a + b</i>  и  <i>aⁿ + bⁿ</i>  – целые?

Произведение квадратных трёхчленов  <i>x</i>² + <i>a</i>₁<i>x + b</i>₁,  <i>x</i>² + <i>a</i>₂<i>x + b</i>₂,  ...,  <i>x</i>² + <i>a_nx + b_n</i>  равно многочлену  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>^2<i>n</i> + <i>c</i>₁<i>x</i>^{2<i>n</i>–1} + <i>c</i>₂<i>x</i>^{2<i>n</i>–2} + ... + <i>c</i><sub>2<i>n</i>–1</...

Существует ли такая бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия {<i>a_n</i>} из натуральных чисел, что произведение <i>a_n...a</i>_<i>n</i>+9 делится на сумму

<i>a_n +... + a</i>_<i>n</i>+9  при любом натуральном <i>n</i>?

Найдите все такие пары  (<i>a, b</i>)  натуральных чисел, что при любом натуральном <i>n</i> число  <i>aⁿ + bⁿ</i>  является точной (<i>n</i>+1)-й степенью.

Арифметическая прогрессия <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., состоящая из натуральных чисел, такова, что при любом <i>n</i> произведение <i>a_na</i>_<i>n</i>+31 делится на 2005.

Можно ли утверждать, что все члены прогрессии делятся на 2005?

Может ли в наборе из шести чисел  (<i>a, b, c</i>, ^<i>a</i>²/_<i>b</i>, ^<i>b</i>²/_<i>c</i>, ^<i>c</i>²/_<i>a</i>},  где <i>a, b, c</i> – положительные числа, оказаться ровно три различных числа?

Для некоторых натуральных чисел <i>a, b, c</i> и <i>d</i> выполняются равенства  <i>^a/_c = ^b/_d</i> = ^<i>ab</i>+1/_<i>cd</i>+1.  Докажите, что  <i>a = c</i>  и  <i>b = d</i>.

Докажите, что стороны любого неравнобедренного треугольника можно либо все увеличить, либо все уменьшить на одну и ту же величину так, чтобы получился прямоугольный треугольник.

Найдите все простые <i>p</i>, для каждого из которых существуют такие натуральные <i>x</i> и <i>y</i>, что  <i>p^x = y</i>³ + 1.

Существуют ли различные взаимно простые в совокупности натуральные числа <i>a, b</i> и <i>c</i>, большие 1 и такие, что  2<i>^a</i> + 1  делится на <i>b</i>,  2<i>^b</i> + 1  делится на <i>c</i>, а  2<i>^c</i> + 1  делится на <i>a</i>?

Существуют ли действительные числа<i> a </i>,<i> b </i>и<i> c </i>такие, что при всех действительных<i> x </i>и<i> y </i>выполняется неравенство <center><i>

|x+a|+|x+y+b|+|y+c|>|x|+|x+y|+|y|? </i></center>

Сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел оказалась кубом натурального числа. Докажите, что среднее из этих трёх чисел делится на 4.

Найдите наименьшее натуральное число, не представимое в виде   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109823/problem_109823_img_2.gif"> ,   где <i>a, b, c, d</i> – натуральные числа.

Пусть натуральные числа <i>x, y, p, n</i> и <i>k</i> таковы, что  <i> xⁿ + yⁿ = p^k</i>.

Докажите, что если число <i>n</i>  (<i>n</i> > 1)  нечётно, а число <i>p</i> нечётное простое, то <i>n</i> является степенью числа <i>p</i> (с натуральным показателем).

Плоская выпуклая фигура ограничена отрезками<i> AB </i>и<i> AD </i>и дугой<i> BD </i>некоторой окружности (рис.1). Постройте какую-нибудь прямую, которая делит пополам: а) периметр этой фигуры; б) её площадь.

Решите в натуральных числах уравнение  3^<i>x</i> + 4^<i>y</i> = 5^<i>z</i>.

Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных чисел <i>n</i>, что число <i>n</i> представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, а числа  <i>n</i> – 1  и  <i>n</i> + 1  – нет.