Олимпиадная задача: количество ненулевых коэффициентов в многочлене — задача Сендерова
Задача
Найдите все такие натуральные n, что при некоторых отличных от нуля действительных числах a, b, c, d многочлен (ax + b)1000 – (cx + d)1000 после раскрытия скобок и приведения всех подобных слагаемых имеет ровно n ненулевых коэффициентов.
Решение
Ясно, что существуют требуемые многочлены с 1001 и 1000 ненулевыми коэффициентами (например, (2x + 2)1000 – (x + 1)1000 и
(2x + 1)1000 – (x + 1)1000).
Предположим, что в нашем многочлене есть два коэффициента, равных нулю – при xi и xj (i > j). Тогда aib1000–i = cid1000–i,
ajb1000–j = cjd1000–j, то есть 
Отсюда 
При замене ax + b на (– a)x + (–b) наш многочлен не изменится. Поэтому можно считать, что a = c. Тогда, если b = d, то итоговый многочлен нулевой, а если d = – b, то в полученном многочлене (ax + b)1000 – (ax – b)1000 обнуляются в точности коэффициенты при чётных степенях x, то есть получается 500 ненулевых коэффициентов.
Ответ
n = 500, 1000, 1001.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь