Олимпиадная задача по теории чисел и многочленам: найти простые p для p^x = y³ + 1

  y³ + 1 = (y + 1)(y² – y + 1),  поэтому  y + 1 = p^α,  y² – y + 1 = p^β,  где  α > 0,  β ≥ 0.   Первый способ. Если  β = 0,  то  y = 1,  p = 2  (x = 1).

  Пусть  β > 0.  Тогда p – общий делитель чисел  y + 1  и  y² – y + 1,  а значит, и чисел  y + 1  и  (y + 1)² – (y² – y + 1) = 3y.

  Поскольку  НОД(y, y + 1) = 1,  p = 3.  Так бывает:  3² = 2³ + 1.   Второй способ.  p^x = (p^α – 1)³ + 1 = p^α(3 + A),  где A делится на p.

  Поскольку  3 + A = p^γ  (γ ≥ 0),  то либо p = 3,  либо  γ = 0.  В последнем случае  p^x = p,  x = 1.  Значит,  y = y³,  откуда  y = 1,  p = 2.

Ответ задачи отсутствует