Олимпиадная задача: при каких n произведение b₁+k, ..., bₙ+k всегда степень числа

  Все числа в решении считаются натуральными, если не оговорено противное.

  Пусть n – составное число, то есть  n = rs,  где  r > 1,  s > 1.  Тогда достаточно рассмотреть числа b₁ = ... = b_r = 1,  b_r+1 = ... = b_n = 2.  Очевидно, что при всяком k число  (b₁ + k)...(b_n + k)  – r-я степень.

  Пусть n – простое число и есть требуемый набор  (b₁, ..., b_n).  Без ограничения общности можно считать, что b₁, ..., b_q – попарно различные числа, а каждое из чисел b_q+1, ..., b_n равно одному из b₁, ..., b_q  (q > 1,  так как не все числа равны). Пусть среди чисел b₁, ..., b_n имеется s_i равных b_i, где

1 ≤ i < q,  s₁ + ... + s_q = n.

  Рассмотрим q различных простых чисел p₁, ..., p_q, которые больше всех b_i. Числа    попарно взаимно просты и  0 < r_i < p_i < .  По китайской теореме об остатках найдётся такое целое m, что    при всех i от 1 до q. Пусть  (b₁ + m)...(b_n + m) = u^v.

    то есть делится на p_i и не делится на  .  При  j ≠ i,  1 ≤ j ≤ q,  имеем  0 < |b_i – b_j| < p_i,  поэтому  b_j + m  на p_i не делится.

  Таким образом, в каноническом разложении числа  (b₁ + m)...(b_n + m)  на простые множители каждое число p_i содержится ровно в степени s_i.

  Значит, число v является делителем всех s_i, а значит, и делителем их суммы n. При этом  v < n  (так как  q > 1),  поэтому  v = 1.

При составных n.