Олимпиадная задача: сумма кубов трёх последовательных чисел как куб, делимость

  В решении латинскими буквами везде обозначены натуральные числа.

  По условию,  (x – 1)³ + x³ + (x + 1)³ = y³,  или  3x(x² + 2) = y³.  Значит, y делится на 3,  y = 3z  и  x(x² + 2) = 9z³.  Очевидно,  НОД(x, x² + 2) ≤ 2.

  Пусть  НОД(x, x² + 2) = 1.  Тогда либо  x = 9u³ и  x² + 2 = v³,  либо  x = u³,  x² + 2 = 9v³  при некоторых натуральных u, v. В первом случае  81u⁶ + 2 = v³,  что невозможно, так как куб целого числа при делении на 9 даёт остаток 0 или ±1. Аналогично второе равенство влечёт, что  u⁶ + 2 = 9v³,  что невозможно по тем же причинам.

  Итак,  НОД(x, x² + 2) = 2,  x(x² + 2) = 9z³.  Тогда x (и, следовательно, z) чётно, поэтому  x(x² + 2)  делится на 8. Поскольку  x² + 2  не делится на 4, получаем, что x делится на 4.

Ответ задачи отсутствует