Олимпиадная задача по теории чисел: уравнение степени и простые числа для 8–10 классов

  Пусть  m = НОД(x, y).  Тогда x = mu,  y = mv  и  mⁿ(uⁿ + yⁿ) = p^k,  поэтому  m = p^α  для некоторого целого неотрицательного α. Следовательно,

uⁿ + vⁿ = p^k–nα.

  Так как n нечётно, то  uⁿ + vⁿ = (u + v)(u^n–1 – u^n–2v + u^n–3v² – ... – uv^n–2 + v^n–1) = A(u + v).

  По условию  p > 2,  следовательно, хотя бы одно из чисел u, v больше 1 (ибо  u + v  кратно p), а так как  n > 1,  то и  A > 1.  Из равенства вытекает, что

A(u + v) = p^k–nα,  а так как  u + v > 1  и  A > 1,  то каждое из этих чисел делится на p; более того,  u + v = p^β  для некоторого натурального β. Значит,

A = u^n–1 – u^n–2(p^β – u) + u^n–3(p^β – u)² – ... – u(p^β – x)^n–2 + (p^β – u)^n–1 = nu^n–1 + Bp^β.

  Число A кратно p, а число u взаимно просто с p, следовательно, n делится на p. Пусть  n = pq.  Тогда  (x^p)^q + (y^p)^q = p^k.  Если  q > 1,  то, как мы только что доказали, q делится на p. Если  q = 1,  то  n = p.

  Повторяя это рассуждение, мы получим, что  n = p^l  для некоторого натурального l.

Ответ задачи отсутствует