Олимпиадные задачи по математике для 10 класса - сложность 3 с решениями

Даны три квадратных трёхчлена <i>P</i>(<i>x</i>), <i>Q</i>(<i>x</i>) и <i>R</i>(<i>x</i>) с положительными старшими коэффициентами, имеющие по два различных корня. Оказалось, что при подстановке корней трёхчлена <i>R</i>(<i>x</i>) в многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) + <i>Q</i>(<i>x</i>)  получаются равные значения. Аналогично при подстановке корней трёхчлена <i>P</i>(<i>x</i>) в многочлен  <i>Q</i>(<i>x</i>) + <i>R</i>(<i>x</i>)  получаются равные значения, а также при подстановке корней трёхчлена <i>Q</i>(<i>x</i>) в многочлен  <i>P</i>(<i&g...

Пусть  <i>a</i>₁, ..., <i>a</i>₁₀  – различные натуральные числа, не меньшие 3, сумма которых равна 678. Может ли сумма остатков от деления некоторого натурального числа <i>n</i> на 20 чисел  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₁₀, 2<i>a</i>₁, 2<i>a</i>₂,..., 2<i>a</i>₁₀  равняться 2012?

Изначально на доске записаны 10 последовательных натуральных чисел. За одну операцию разрешается выбрать любые два числа на доске (обозначим их <i>a</i> и <i>b</i>) и заменить их на числа  <i>a</i>² – 2011<i>b</i>²  и <i>ab</i>. После нескольких таких операций на доске не осталось ни одного из исходных чисел. Могли ли там опять оказаться 10 последовательных натуральных чисел (записанных в некотором порядке)?

Положительные действительные числа    <i>a</i>₁, ..., <i>a_n</i>  и <i>k</i> таковы, что  <i>a</i>₁ + ... + <i>a_n</i> = 3<i>k</i>,   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116758/problem_116758_img_2.gif">   и   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116758/problem_116758_img_3.gif"> .

Докажите, что какие-то два из чисел  <i>a</i>₁, ..., <i>a_n</i>  отличаются больше чем на 1.

Вася нарисовал на плоскости несколько окружностей и провёл всевозможные общие касательные к каждой паре этих окружностей. Оказалось, что проведённые прямые содержат все стороны некоторого правильного 2011-угольника. Какое наименьшее количество окружностей мог нарисовать Вася?

Найдите все такие тройки действительных чисел <i>x, y, z</i>, что  1 + <i>x</i>⁴ ≤ 2(<i>y – z</i>)² 1 + <i>y</i>⁴ ≤ 2(<i>z – x</i>)²,  1 + <i>z</i>⁴ ≤ 2(<i>x – y</i>)².

В клетках таблицы 10×10 произвольно расставлены натуральные числа от 1 до 100, каждое по одному разу. За один ход разрешается поменять местами любые два числа. Докажите, что за 35 ходов можно добиться того, чтобы сумма каждых двух чисел, стоящих в клетках с общей стороной, была составной.

Дан набор из<i> n></i>2векторов. Назовем вектор набора длинным, если его длина не меньше длины суммы остальных векторов набора. Докажите, что если каждый вектор набора– длинный, то сумма всех векторов набора равна нулю.

Докажите, что при<i> k></i>10в произведении <center><i>

f</i>(<i>x</i>)<i> = cos x cos </i>2<i>x cos </i>3<i>x .. cos </i>2<i>^k x

</i></center> можно заменить один<i> cos </i>на<i> sin </i>так, что получится функция<i> f₁</i>(<i>x</i>), удовлетворяющая при всех действительных<i> x </i>неравенству<i> |f₁</i>(<i>x</i>)<i>|<img src="/storage/problem-media/111826/problem_111826_img_2.gif"> <img src="/storage/problem-media/111826/problem_111826_img_3.gif"> </i>.

По окружности отметили 40 красных, 30 синих и 20 зеленых точек. На каждой дуге между соседними красной и синей точками поставили цифру 1, на каждой дуге между соседними красной и зеленой – цифру 2, а на каждой дуге между соседними синей и зеленой – цифру 3. (На дугах между одноцветными точками поставили 0.) Найдите максимальную возможную сумму поставленных чисел.

Даны два квадратных трёхчлена, имеющих корни. Известно, что если в них поменять местами коэффициенты при <i>x</i>², то получатся трёхчлены, не имеющие корней. Докажите, что если в исходных трёхчленах поменять местами коэффициенты при <i>x</i>, то получатся трёхчлены, имеющие корни.

В натуральном числе <i>A</i> переставили цифры, получив число <i>B</i>. Известно, что   <img align="top" src="/storage/problem-media/111791/problem_111791_img_2.gif">   Найдите наименьшее возможное значение <i>n</i>.

Квадратные трёхчлены <i>f</i>(<i>x</i>) и <i>g</i>(<i>x</i>) таковы, что  <i>f</i> '(<i>x</i>)<i>g</i>'(<i>x</i>) ≥ |<i>f</i>(<i>x</i>)| + |<i>g</i>(<i>x</i>)|  при всех действительных <i>x</i>.

Докажите, что произведение <i>f</i>(<i>x</i>)<i>g</i>(<i>x</i>) равно квадрату некоторого трёхчлена.

В каждую клетку бесконечной клетчатой плоскости записано одно из чисел 1, 2, 3, 4 так, что каждое число встречается хотя бы один раз. Назовём клетку <i>правильной</i>, если количество различных чисел, записанных в четыре соседние (по стороне) с ней клетки, равно числу, записанному в эту клетку. Могут ли все клетки плоскости оказаться правильными?

По двум пересекающимся дорогам с равными постоянными скоростями движутся автомобили "Ауди" и БМВ. Оказалось, что как в 17.00, так и в 18.00 БМВ находился в два раза дальше от перекрёстка, чем "Ауди". В какое время "Ауди" мог проехать перекрёсток?

Положительные числа <i>x, y, z</i> таковы, что модуль разности любых двух из них меньше 2.

Докажите, что &nbsp<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110162/problem_110162_img_2.gif"> + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110162/problem_110162_img_3.gif"> + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110162/problem_110162_img_4.gif"> > <i>x + y + z</i>.

Уравнение  <i>xⁿ + a</i>₁<i>x</i>^<i>n</i>–1 + ... + <i>a</i>_<i>n</i>–1<i>x + a_n</i> = 0  с целыми ненулевыми коэффициентами имеет <i>n</i> различных целых корней.

Докажите, что если каждые два корня взаимно просты, то и числа <i>a</i>_<i>n</i>–1 и <i>a_n</i> взаимно просты.

Найдите все углы<i> α </i>, для которых набор чисел<i> sinα </i>,<i> sin</i>2<i>α </i>,<i> sin</i>3<i>α </i>совпадает с набором<i> cosα </i>,<i> cos</i>2<i>α </i>,<i> cos</i>3<i>α </i>.

Приведённый квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами в трёх последовательных целых точках принимает простые значения.

Докажите, что он принимает простое значение по крайней мере еще в одной целой точке.

Высота четырехугольной пирамиды<i> SABCD </i>проходит через точку пересечения диагоналей ее основания<i> ABCD </i>. Из вершин основания опущены перпендикуляры<i> AA</i>1,<i> BB</i>1,<i> CC</i>1,<i> DD</i>1на прямые<i> SC </i>,<i> SD </i>,<i> SA </i>и<i> SB </i>соответственно. Оказалось, что точки<i> S </i>,<i> A</i>1,<i> B</i>1,<i> C</i>1,<i> D</i>1различны и лежат на одной сфере. Докажите, что прямые<i> AA</i>1,<i> BB</i>1,<i> CC</i>1,<i> DD</i>1проходят через одну точку.

Действительные числа <i>x</i> и <i>y</i> таковы, что для любых различных простых нечётных <i>p</i> и <i>q</i> число  <i>x^p + y^q </i>  рационально.

Докажите, что <i>x</i> и <i>y</i> – рациональные числа.

Длины сторон многоугольника равны  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_n</i>.  Квадратный трёхчлен  <i>f</i>(<i>x</i>) таков, что  <i>f</i>(<i>a</i>₁) = <i>f</i>(<i>a</i>₂ + ... + <i>a_n</i>).

Докажите, что если <i>A</i> – сумма длин нескольких сторон многоугольника, <i>B</i> – сумма длин остальных его сторон, то  <i>f</i>(<i>A</i>) = <i>f</i>(<i>B</i>).

Ненулевые числа <i>a</i> и <i>b</i> удовлетворяют равенству  <i>a</i>²<i>b</i>²(<i>a</i>²<i>b</i>² + 4) = 2(<i>a</i>⁶ + <i>b</i>⁶).  Докажите, что хотя бы одно из них иррационально.

Докажите, что можно выбрать такие различные действительные числа  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₁₀,  что уравнение

(<i>x – a</i>₁)(<i>x – a</i>₂)...(<i>x – a</i>₁₀) = (<i>x + a</i>₁)(<i>x + a</i>₂)...(<i>x + a</i>₁₀)  будет иметь ровно пять различных действительных корней.

Существуют ли такие <i>n</i>-значные числа <i>M</i> и <i>N</i>, что все цифры <i>M</i> – чётные, все цифры <i>N</i> – нечётные, каждая цифра от 0 до 9 встречается в десятичной записи <i>M</i> или <i>N</i> хотя бы один раз и <i>M</i> делится на <i>N</i>?