Олимпиадная задача по математике: чётные и нечётные цифры в n-значных числах (8-10 классы)
Задача
Существуют ли такие n-значные числа M и N, что все цифры M – чётные, все цифры N – нечётные, каждая цифра от 0 до 9 встречается в десятичной записи M или N хотя бы один раз и M делится на N?
Решение
Пусть M = a1...an и N = b1...bn – числа, удовлетворяющие условию. Тогда M = dN, где d = 2, 4, 6 или 8 (так как M чётно, а N нечётно). Пусть bk = 9 и
S = bk...bn. Тогда из неравенств 180...0 < 2S < 199...9, 360...0 < 4S < 399...9, 540...0 < 6S < 39...9, 720...0 < 8S < 799...9 следует, что в (k–1)-й разряд переносится нечётная цифра p, значит, цифра ak–1 – последняя цифра суммы dbk–1 + p нечётна. Противоречие.
Ответ
Не существуют.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет