Олимпиадная задача по алгебраическим неравенствам для 8–10 классов от Агахановa и Богдановa

Пусть для определенности  x ≥ y ≥ z.  Поскольку  0 ≤ (x² – 1)² = (x⁴ + 1) – 2x²,  мы имеем  2x² ≤ 1 + x⁴ ≤ 2(y – z)² , откуда  |x| ≤ y – z.  Аналогично

|z| ≤ x – y.  Поэтому  |z| + |x| ≤ (x – y) + (y – z) = x – z.  Это возможно только если  x ≥ 0,  z ≤ 0,  при этом неравенство обращается в равенство. Значит, и все промежуточные неравенства также обращаются в равенства, то есть  2x² = 1 + x⁴,  2z² = 1 + z⁴,  откуда  x² = z² = 1,  то есть  x = 1,  z = –1.  Кроме того,  |x| = y – z,  откуда  y = 0.  Проверка показывает, что этот ответ подходит.

{–1, 0, 1}.