Олимпиадная задача по теории чисел и делимости для 10-11 класса — Автор: Агаханов Н. Х.

  Предположим, что такое число n существует. Максимальный возможный остаток от деления на натуральное число m равен  m – 1.  Поэтому сумма остатков от деления произвольного числа на числа  a₁, ..., a₁₀  не больше чем  678 – 10 = 668,  а сумма остатков от деления его на числа 2a₁, 2a₂,..., 2a₁₀ не больше чем  2·678 – 10 = 1346.  Если бы все остатки были максимальными возможными, то их сумма равнялась бы  668 + 1346 = 2014.  Поскольку эта сумма для нашего числа n равна 2012, возможны только два случая.

  1) Ровно один из остатков на 2 меньше максимального возможного, а остальные – максимальные возможные. Тогда при некотором k один из остатков от деления n на числа a_k и 2a_k – максимальный возможный, а другой – на 2 меньше. Значит, одно из чисел  n + 1  и  n + 3  делится на a_k, а другое – на 2a_k, то есть оба делятся на a_k. Это невозможно, так как число  (n + 3) – (n + 1) = 2  не делится на  a_k > 2.

  2) Ровно два остатка на 1 меньше максимальных возможных. Тогда среди остатков от деления n на четные числа  2a₁, 2a₂,..., 2a₁₀  по крайней мере восемь – максимальные возможные, то есть нечётные. Значит, n – нечётное число, и потому все остатки от деления его на числа 2a₁, 2a₂,..., 2a₁₀ нечётны. Таким образом, они – максимальные возможные. Это значит, что  n + 1  делится на все числа  2a₁, 2a₂,..., 2a₁₀  и, следовательно, на все числа a₁, ..., a₁₀,  то есть все 20 остатков – максимальные возможные. Противоречие.

Не может.