Олимпиадная задача по многочленам и планиметрии для 8–10 класса от Агаханова Н. Х.
Задача
Длины сторон многоугольника равны a1, a2, ..., an. Квадратный трёхчлен f(x) таков, что f(a1) = f(a2 + ... + an).
Докажите, что если A – сумма длин нескольких сторон многоугольника, B – сумма длин остальных его сторон, то f(A) = f(B).
Решение
f(a) = f(b) ⇔ a = b, либо a и b расположены на числовой оси симметрично относительно абсциссы x0 вершины параболы y = f(x), то есть при
a + b = 2x0. Но для многоугольника a1 < a2 + ... + an, поэтому a1 + a2 + ... + an = 2x0. Тогда A + B = 2x0, значит, f(A) = f(B).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет