Задание олимпиады по тригонометрии для 9–11 классов от Агахановa Н. Х.

Задача

Докажите, что при k>10в произведении

f(x) = cos x cos 2x cos 3x .. cos 2^k x

можно заменить один cos на sin так, что получится функция f₁(x), удовлетворяющая при всех действительных x неравенству |f₁(x)| .

Решение

Заметим, что

| sin 3x| = |3 sin x -4 sin ³ x| = |3 - 4 sin² x|,| sin x| 3| sin x|.

Поэтому для функции f₁ , полученной из f заменой cos 3x на sin 3x , выполняется неравенство

|f₁(x)| 3| sin x|,| cos x|,| cos 2x|,| cos 4x|,| cos8x|..| cos 2^kx|.

(Мы опустили все множители | cos nx| , в которых n>3и не является степенью двойки; каждый из этих множителей не превосходит1.) Утверждение задачи теперь следует из тождества

sin x cos x cos 2x cos 4x cos 8x .. cos 2^kx = 2^-k-1 sin 2^k+1x.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Олимпиадная задача по тригонометрии для 9–11 классов от Агахановa Н. Х.

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления