Олимпиадные задачи из источника «2013-2014» для 5-11 класса - сложность 3 с решениями

Исходно на доске написаны многочлены  <i>x</i>³ – 3<i>x</i>² + 5  и  <i>x</i>² – 4<i>x</i>.  Если на доске уже написаны многочлены  <i>f</i>(<i>x</i>) и <i>g</i>(<i>x</i>), разрешается дописать на неё многочлены  <i>f</i>(<i>x</i>) ± <i>g</i>(<i>x</i>),  <i>f</i>(<i>x</i>)<i>g</i>(<i>x</i>),  <i>f</i>(<i>g</i>(<i>x</i>))  и  <i>cf</i>(<i>x</i>),  где <i>c</i> – произвольная (не обязательно целая) константа. Может ли на доске после нескольких операций появиться многочлен вида  <i>xⁿ</i> – 1  (при...

Сфера ω проходит через вершину <i>S</i> пирамиды <i>SABC</i> и пересекает рёбра <i>SA, SB</i> и <i>SC</i> вторично в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ соответственно. Сфера Ω, описанная около пирамиды <i>SABC</i>, пересекается с ω по окружности, лежащей в плоскости, параллельной плоскости (<i>ABC</i>). Точки <i>A</i>₂, <i>B</i>₂ и <i>C</i>₂ симметричны точкам <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ относительно...

Положительные рациональные числа <i>a</i> и <i>b</i> записаны в виде десятичных дробей, у каждой из которых минимальный период состоит из 30 цифр. У десятичной записи числа  <i>a – b</i>  длина минимального периода равна 15. При каком наименьшем натуральном <i>k</i> длина минимального периода десятичной записи числа  <i>a + kb</i>  может также оказаться равной 15?

Петя и Вася играют в игру на клетчатой доске <i>n×n</i> (где  <i>n</i> > 1).  Изначально вся доска белая, за исключением угловой клетки – она чёрная, и в ней стоит ладья. Игроки ходят по очереди. Каждым ходом игрок передвигает ладью по горизонтали или вертикали, при этом все клетки, через которые ладья перемещается (включая ту, в которую она попадает), перекрашиваются в чёрный цвет. Ладья не должна передвигаться через чёрные клетки или останавливаться на них. Проигрывает тот, кто не может сделать ход; первым ходит Петя. Кто выиграет при правильной игре?

Точка <i>M</i> – середина стороны <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i>. На отрезках <i>AM</i> и <i>CM</i> выбраны точки <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно таким образом, что  <i>PQ = ^AC</i>/₂.  Описанная окружность треугольника <i>ABQ</i> второй раз пересекает сторону <i>BC</i> в точке <i>X</i>, а описанная окружность треугольника <i>BCP</i>, второй раз пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>Y</i>. Докажите, что четырёхугольник <i>BXMY</i> – вписанный.

Треугольник <i>ABC</i>  (<i>AB > BC</i>)  вписан в окружность Ω. На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно так, что  <i>AM = CN</i>.  Прямые <i>MN</i> и <i>AC</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Пусть <i>P</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>AMK</i>, а <i>Q</i> – центр вневписанной окружности треугольника <i>CNK</i>, касающейся стороны <i>CN</i>. Докажите, что середина дуги <i>ABC</i> окружности Ω равноудалена от точек <i>P</i> и <i>Q</i>.

В сейфе <i>n</i> ячеек с номерами от 1 до <i>n</i>. В каждой ячейке первоначально лежала карточка с её номером. Вася переложил карточки в некотором порядке так, что в <i>i</i>-й ячейке оказалась карточка с числом <i>a_i</i>. Петя может менять местами любые две карточки с номерами <i>x</i> и <i>y</i>, платя за это  2|<i>x – y</i>|  рублей. Докажите, что Петя сможет вернуть все карточки на исходные места, заплатив не более  |<i>a</i>₁ – 1| + |<i>a</i>₂ – 2| + ... + |<i>a_n – n</i>|  рублей.

Дана функция <i>f</i>, определённая на множестве действительных чисел и принимающая действительные значения. Известно, что для любых <i>x</i> и <i>y</i>, таких, что  <i>x > y</i>,  верно неравенство  (<i>f</i>(<i>x</i>))² ≤ <i>f</i>(<i>y</i>).  Докажите, что множество значений функции содержится в промежутке  [0,1].

В республике математиков выбрали число  α > 2  и выпустили монеты достоинствами в 1 рубль, а также в α<i>^k</i> рублей при каждом натуральном <i>k</i>. При этом α было выбрано так, что достоинства всех монет, кроме самой мелкой, иррациональны. Могло ли оказаться, что любую сумму в натуральное число рублей можно набрать этими монетами, используя монеты каждого достоинства не более 6 раз?

Трапеция <i>ABCD</i> с основаниями <i>AB</i> и <i>CD</i> вписана в окружность Ω. Окружность ω проходит через точки <i>C, D</i> и пересекает отрезки <i>CA, CB</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ соответственно. Точки <i>A</i>₂ и <i>B</i>₂ симметричны точкам <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁ относительно середин отрезков <i>CA</i> и <i>CB</i> соответственно. Докажите, что точки <i>A, B, A</i>₂ и <i>B</i>₂ лежат на одной окружности.

Точка <i>M</i> – середина стороны <i>AC</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i>, в котором  <i>AB > BC</i>.  Касательные к описанной окружности Ω треугольника <i>ABC</i>, проведённые в точках <i>A</i> и <i>C</i>, пересекаются в точке <i>P</i>. Отрезки <i>BP</i> и <i>AC</i> пересекаются в точке <i>S</i>. Пусть <i>AD</i> – высота треугольника <i>BP</i>. Описанная окружность ω треугольника <i>CSD</i> второй раз пересекает окружность Ω в точке <i>K</i>. Докажите, что  ∠<i>CKM</i> = 90°.

В выпуклом <i>n</i>-угольнике проведено несколько диагоналей. Проведённая диагональ называется <i>хорошей</i>, если она пересекается (по внутренним точкам) ровно с одной из других проведённых диагоналей. Найдите наибольшее возможное количество хороших диагоналей.

Серёжа выбрал два различных натуральных числа <i>a</i> и <i>b</i>. Он записал в тетрадь четыре числа:  <i>a,  a</i> + 2,  <i>b</i> и  <i>b</i> + 2.  Затем он выписал на доску все шесть попарных произведений чисел из тетради. Какое наибольшее количество точных квадратов может быть среди чисел на доске?

Дан многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a</i>_2<i>n</i><i>x</i>^2<i>n</i> + <i>a</i>_{2<i>n</i>–1}<i>x</i>^{2<i>n</i>–1} + ... + <i>a</i>₁<i>x + a</i>₀,  у которого каждый коэффициент <i>a_i</i> принадлежит отрезку  [100, 101].

При каком минимальном натуральном <i>n</i> у такого многочлена может найтись действительный корень?

Плоскость α пересекает рёбра <i>AB, BC, CD</i> и <i>DA</i> треугольной пирамиды <i>ABCD</i> в точках <i>K, L, M</i> и <i>N</i> соответственно. Оказалось, что двугранные углы

∠(<i>KLA, KLM</i>),  ∠(<i>LMB, LMN</i>),  ∠(<i>MNC, MNK</i>)  и  ∠(<i>NKD, NKL</i>)  равны. (Через  ∠(<i>PQR, PQS</i>)  обозначается двугранный угол при ребре <i>PQ</i> в тетраэдре <i>PQRS</i>.) Докажите, что проекции вершин <i>A, B, C</i> и <i>D</i> на плоскость α лежат на одной окружности.

Все клетки квадратной таблицы <i>n</i>×<i>n</i> пронумерованы в некотором порядке числами от 1 до <i>n</i>². Петя делает ходы по следующим правилам. Первым ходом он ставит фишку в любую клетку. Каждым последующим ходом Петя может либо поставить новую фишку на какую-то клетку, либо переставить фишку из клетки с номером <i>a</i> ходом по горизонтали или по вертикали в клетку с номером большим, чем <i>a</i>. Каждый раз, когда фишка попадает в клетку, эта клетка немедленно закрашивается; ставить фишку на закрашенную клетку запрещено. Какое наименьшее количество фишек потребуется Пете, чтобы независимо от исходной нумерации он смог за несколько ходов закрасить все клетки таблицы?

Петя поставил на доску 50×50 несколько фишек, в каждую клетку – не больше одной. Докажите, что у Васи есть способ поставить на свободные поля этой же доски не более 99 новых фишек (возможно, ни одной) так, чтобы по-прежнему в каждой клетке стояло не больше одной фишки, и в каждой строке и каждом столбце этой доски оказалось чётное количество фишек.

По кругу стоят 10¹⁰⁰⁰ натуральных чисел. Между каждыми двумя соседними числами записали их наименьшее общее кратное.

Могут ли эти наименьшие общие кратные образовать 10¹⁰⁰⁰ последовательных чисел (расположенных в каком-то порядке)?

Треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность Ω с центром <i>O</i>. Окружность Ω₁, построенная на <i>AO</i> как на диаметре, пересекает описанную окружность Ω₂ треугольника <i>OBC</i> в точке <i>S</i>, отличной от <i>O</i>. Касательные к Ω в точках <i>B</i> и <i>C</i> пересекаются в точке <i>P</i>. Докажите, что точки <i>A, S</i> и <i>P</i> лежат на одной прямой.

На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> выбраны точки <i>C</i>₁ и <i>C</i>₂. Аналогично на стороне <i>BC</i> выбраны точки <i>A</i>₁ и <i>A</i>₂, а на стороне <i>AC</i> – точки <i>B</i>₁ и <i>B</i>₂. Оказалось, что отрезки <i>A</i>₁<i>B</i>₂, <i>B</i>₁<i>C</i>₂ и <i>C</i>₁<i>A</i>₂ имеют равные длины, пересекаются в одной точ...

В языке племени АУ две буквы – "a" и "y". Некоторые последовательности этих букв являются словами, причём в каждом слове не меньше одной и не больше 13 букв. Известно, что если написать подряд любые два слова, то полученная последовательность букв не будет словом. Найдите максимальное возможное количество слов в таком языке.

Стозначное натуральное число <i>n</i> назовём <i>необычным</i>, если десятичная запись числа <i>n</i>³ заканчивается на <i>n</i>, а десятичная запись числа <i>n</i>² не заканчивается на <i>n</i>. Докажите, что существует не менее двух стозначных необычных чисел.

Какое из чисел больше:  (100!)!  или  99!^100!·100!^99!?

Дан вписанный четырёхугольник <i>ABCD</i>. Лучи <i>AB</i> и <i>DC</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Оказалось, что точки <i>B</i>, <i>D</i>, а также середины <i>M</i> и <i>N</i> отрезков <i>AC</i> и <i>KC</i> лежат на одной окружности. Какие значения может принимать угол <i>ADC</i>?

Имеются 2013 карточек, на которых написана цифра 1, и 2013 карточек, на которых написана цифра 2. Вася складывает из этих карточек 4026-значное число. За один ход Петя может поменять местами некоторые две карточки и заплатить Васе 1 рубль. Процесс заканчивается, когда у Пети получается число, кратное 11. Какую наибольшую сумму может заработать Вася, если Петя стремится заплатить как можно меньше?