Пусть S – середина дуги ABC окружности Ω. Тогда  SA = SC,  AM = CN  и  ∠BCS = ∠BAS. Значит, треугольники AMS и CNS равны, и они совмещаются поворотом Ф с центром в точке S на угол  ∠ASC = ∠ABC.  Отсюда, в частности, следует, что  SM = SN  и  ∠MSN = ∠ABC.  Далее можно рассуждать по-разному.   Первый способ. Из последнего равенства углов следует, что четырёхугольник MSBN вписан в некоторую окружность γ (см. рис.).

  Описанные окружности Ω_aи Ω_cтреугольниковAMSиCNS, также совмещаются поворотом Ф. ПустьUиV– середины дугAMиCN(не содержащихS) этих окружностей. Тогда  SU = SV  (то есть точкаSлежит на серединном перпендикуляре кUV) и  UA = VC.  Из окружностей Ω и γ имеем ∠SAK= ∠SBC= ∠SMK,  то естьKлежит на Ω_a. АналогичноKлежит на Ω_c.   Отсюда следует, что точкиUиVвместе с точкамиPиQлежат на биссектрисе угла ∠CKN. Полемме о трезубцедля треугольниковKAMиKCN(см. задачу155381)  UP = UA  и  VQ = VC.  Так как  UA = VC,  это означает, что точкиPиQсимметричны относительно серединного перпендикуляра кUV, на котором лежит точкаS. Значит,Sравноудалена отPиQ.   Второй способ. Пусть R и T – середины отрезков AC и MN соответственно. Из равнобедренных треугольников SAC и SMN имеем  ∠SRK = ∠STK = 90°,  то есть точки R и T лежат на окружности Г с диаметром SK. Пусть Г вторично пересекает биссектрису KQ угла AKM в точке D. Тогда  DR = DT  и  ∠ARD = ∠DTN.   ПустьP₁иP₂– точки касания вписанной окружности треугольникаAKMс прямымиKAиKMсоответственно, аQ₁иQ₂– точки касания вневписанной окружности треугольникаCKNс теми же прямыми. Тогда  RP₁+TP₂=RA + AP₁+MP₂+TM = RA + AM + TM.  Аналогично RQ₁+TQ₂=RC + CN + TN,  откуда  RP₁+TP₂=RQ₁+TQ₂.   С другой стороны, из симметрии  RP₁+RQ₁=P₁Q₁=TP₂+TQ₂.   Из полученных равенств следует, что  RP₁=TQ₂  и  RQ₁=TP₂.   Итак,  DR = DT,  RP₁=TQ₂  и  ∠P₁RD= ∠Q₂TD . Значит, треугольникиDTQ₂иDRP₁равны, и  DP₁=DQ₂.  Поскольку из симметрии  DQ₂=DQ₁,  треугольникDP₁Q₁равнобедренный, его высота, опущенная из вершиныD, является медианой, и поэтому она также является средней линией прямоугольной трапецииPQQ₁P₁. Значит,  DP = DQ,  и в треугольникеPSQвысотаSDявляется медианой. Отсюда  SP = SQ.

Ответ задачи отсутствует