Олимпиадные задачи из источника «1992-1993» для 10 класса - сложность 3 с решениями

Докажите, что уравнение  <i>x</i>³ + <i>y</i>³ = 4(<i>x</i>²<i>y + xy</i>² + 1)  не имеет решений в целых числах.

Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109540/problem_109540_img_2.gif">

Решите в положительных числах систему уравнений     <img src="/storage/problem-media/109538/problem_109538_img_2.gif">

В стране 1993 города, и из каждого выходит не менее 93 дорог. Известно, что из каждого города можно проехать по дорогам в любой другой.

Докажите, что это можно сделать не более, чем с 62 пересадками. (Дорога соединяет между собой два города.)

Дан правильный 2<i>n</i>-угольник.

Докажите, что на всех его сторонах и диагоналях можно расставить стрелки так, чтобы сумма полученных векторов была нулевой.

Точка <i>O</i> – основание высоты четырёхугольной пирамиды. Сфера с центром <i>O</i> касается всех боковых граней пирамиды. Точки <i>A, B, C</i> и <i>D</i> взяты последовательно по одной на боковых ребрах пирамиды так, что отрезки <i>AB, BC</i> и <i>CD</i> проходят через три точки касания сферы с гранями.

Докажите, что отрезок <i>AD</i> проходит через четвёртую точку касания.

Докажите, что для любого натурального  <i>n</i> > 2  число   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109530/problem_109530_img_2.gif">   делится на 8.

На доске написано <i>n</i> выражений вида  *<i>x</i>² + *<i>x</i> + * = 0  (<i>n</i> – нечетное число). Двое играют в такую игру. Ходят по очереди. За ход разрешается заменить одну из звёздочек числом, не равным нулю. Через 3<i>n</i> ходов получится <i>n</i> квадратных уравнений. Первый игрок стремится к тому, чтобы как можно большее число этих уравнений не имело корней, а второй хочет ему помешать. Какое наибольшее число уравнений, не имеющих корней, может получить первый игрок независимо от игры второго?

Квадратный трёхчлен  <i>f</i>(<i>x</i>) разрешается заменить на один из трёхчленов   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109523/problem_109523_img_2.gif">   или   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109523/problem_109523_img_3.gif">   Можно ли с помощью таких операций из квадратного трёхчлена  <i>x</i>² + 4<i>x</i> + 3  получить трёхчлен  <i>x</i>² + 10<i>x</i> + 9?

Назовем усреднением последовательности<i>a_k </i>действительных чисел последовательность<i>a'_k </i>с общим членом<i> a'_k=<img src="/storage/problem-media/109520/problem_109520_img_2.gif"> </i>. Рассмотрим последовательности:<i>a_k </i>,<i>a'_k </i>– ее усреднение,<i>a''_k </i>– усреднение последовательности<i>a'_k </i>, и т.д. Если все эти последовательности состоят из целых чисел, то будем говорить, что последовательность<i>a_k </i>– хорошая. Докажите, что если последователь...

Квадратная доска разделена сеткой горизонтальных и вертикальных прямых на <i>n</i>² клеток со стороной 1. При каком наибольшем <i>n</i> можно отметить <i>n</i> клеток так, чтобы каждый прямоугольник площади не менее <i>n</i> со сторонами, идущими по линиям сетки, содержал хотя бы одну отмеченную клетку?

Верно ли, что любые два прямоугольника равной площади можно расположить на плоскости так, что любая горизонтальная прямая, пересекающая один из них, будет пересекать и второй, причём по отрезку той же длины?

Из центра симметрии двух равных пересекающихся окружностей проведены два луча, пересекающие окружности в четырех точках, не лежащих на одной прямой. Докажите, что эти точки лежат на одной окружности.

Длины сторон треугольника – простые числа. Докажите, что его площадь не может быть целым числом.

В турнире по теннису <i>n</i> участников хотят провести парные (двое на двое) матчи так, чтобы каждый из участников имел своим противником каждого из остальных ровно в одном матче. При каких <i>n</i> возможен такой турнир?

В строку записаны в некотором порядке натуральные числа от 1 до 1993. Над строкой производится следующая операция: если на первом месте стоит число <i>k</i>, то первые <i>k</i> чисел в строке переставляются в обратном порядке. Докажите, что через несколько таких операций на первом месте окажется число 1.

Найдите все функции<i> f</i>(<i>x</i>), определенные при всех положительных<i> x </i>, принимающие положительные значения и удовлетворяющие при любых положительных<i> x </i>и<i> y </i>равенству<i> f</i>(<i>x^y</i>)<i>=f</i>(<i>x</i>)<i>^f</i>(<i>y</i>).