Математическая задача: можно ли получить x² + 10x + 9 из x² + 4x + 3? Олимпиадная задача 9-11 класс

Решение 1:Пусть  f(x) = ax² + bx + c.  Заметим, что при допустимых операциях дискриминант трёхчлена не меняется: при первой операции  f(x) меняется на трёхчлен  (a + b + c)x² + (b + 2a)x + a  с дискриминантом  (b + 2a)² – 4a(a + b + с) = b² + 4ab + 4a2 – 4a² – 4ab – 4ac = b² – 4ac,  а при второй – на трёхчлен

cx² + (b – 2c)x + (a – b + c)  с дискриминантом  (b – 2c)² – 4c(a – b + c) = b² – 4bc + 4c² – 4ac + 4bc – 4c² = b² – 4ac.  Но у трёхчлена  x² + 4x + 3  дискриминант равен  16 – 4·3 = 4,  а у трёхчлена  x² + 10x + 9  он равен  100 – 4·9 = 64;  следовательно, получить из первого трёхчлена второй невозможно.

Решение 2:Положим   .   Тогда  φ = ¹/_φ + 1 = ¹/_φ–1,  φ – 1 = ¹/_φ.  Поэтому при выполнении разрешённых операций значение трёхчлена в точке φ умножается или делится на φ². Осталось заметить, что такими преобразованиями  φ² + 4φ + 3 = 5φ + 4  не переводится в  φ² + 10φ + 9 = 11φ + 10,  поскольку отношение этих чисел меньше φ².

Решение 3:Нетрудно проверить, что данные преобразования взаимно обратны. Поэтому при положительном ответе на вопрос задачи один из данных трёхчленов можно было бы получить из другого применяя только первое преобразование (возможно, несколько раз). Но, как видно из решения 1, применяя первое преобразование к трёхчлену с натуральными коэффициентами мы будем получать снова трёхчлен с натуральными коэффициентами, а старший коэффициент будет возрастать. Поэтому снова получить приведённый трёхчлен не удастся.

Нельзя.