Олимпиадные задачи из источника «27 турнир (2005/2006 год)» - сложность 2 с решениями

Докажите, что любая натуральная степень многочлена  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>⁴ + <i>x</i>³ – 3<i>x</i>² + <i>x</i> + 2  имеет хотя бы один отрицательный коэффициент.

Дан выпуклый 100-угольник. Докажите, что можно отметить такие 50 точек внутри этого многоугольника, что каждая вершина будет лежать на прямой, проходящей через какие-то две из отмеченных точек.

Докажите, что можно найти такие 100 пар целых чисел так, что в десятичной записи каждого числа все цифры не меньше 6 и произведение чисел каждой пары – тоже число, где все цифры не меньше 6.

Бильярдный стол имеет вид прямоугольника 2×1, в углах и на серединах больших сторон которого расположены лузы. Какое наименьшее число шаров надо расположить внутри прямоугольника, чтобы каждая луза находилась на одной линии с некоторыми двумя шарами?

У Пети есть <i>n</i>³ белых кубиков 1×1×1. Он хочет сложить из них куб <i>n</i>×<i>n</i>×<i>n</i>, снаружи полностью белый. Какое наименьшее число граней кубиков должен закрасить Вася, чтобы помешать Пете? Решите задачу при   a)  <i>n</i> = 3;   б)  <i>n</i> = 1000.

Четырёхугольник <i>ABCD</i> – вписанный,  <i>AB = AD</i>. На стороне <i>BC</i> взята точка <i>M</i>, а на стороне <i>CD</i> – точка <i>N</i> так, что угол <i>MAN</i> равен половине угла <i>BAD</i>.

Докажите, что  <i>MN = BM + ND</i>.

Известно, что число <i>a</i> положительно, а неравенство  10 < <i>a^x</i> < 100  имеет ровно пять решений в натуральных числах.

Сколько таких решений может иметь неравенство  100 < <i>a^x</i> < 1000?

Найдутся ли такие функции <i>p</i>(<i>x</i>) и <i>q</i>(<i>x</i>), что <i>p</i>(<i>x</i>) – чётная функция, а <i>p</i>(<i>q</i>(<i>x</i>)) – нечётная функция (отличная от тождественно нулевой)?

Имеется выпуклый многогранник со 100 рёбрами. Все его вершины срезали плоскостями-ножами близко от самих вершин (то есть так, чтобы плоскости-ножи не пересекались друг с другом внутри или на границе многогранника). Найдите у полученного многогранника

  a) число вершин;

  б) число рёбер.

У Пети есть <i>n</i>³ белых кубиков 1×1×1. Он хочет сложить из них куб <i>n</i>×<i>n</i>×<i>n</i>, снаружи полностью белый. Какое наименьшее число граней кубиков должен закрасить Вася, чтобы помешать Пете? Решите задачу при   a)  <i>n</i> = 2;   б)  <i>n</i> = 3.

Известно, что число <i>a</i> положительно, а неравенство  1 < <i>xa</i> < 2  имеет ровно три решения в целых числах.

Сколько решений в целых числах может иметь неравенство  2 < <i>xa</i> < 3 ?

В клетках первого столбца таблицы <i>n</i>&times<i>n</i> записаны единицы, в клетках второго – двойки, ..., в клетках <i>n</i>-го – числа <i>n</i>. Числа на диагонали, соединяющей левое верхнее число с правым нижним, стёрли. Докажите, что суммы чисел по разные стороны от этой диагонали отличаются ровно в два раза.

В треугольнике <i>ABC</i>  ∠<i>A</i> = 60°.  Серединный перпендикуляр к стороне <i>AB</i> пересекает прямую <i>AC</i> в точке <i>N</i>. Серединный перпендикуляр к стороне <i>AC</i> пересекает прямую <i>AB</i> в точке <i>M</i>. Докажите, что  <i>CB = MN</i>.

При каких натуральных  <i>n</i> > 1  найдутся такие различные натуральные числа <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_n</i>, что сумма   ^<i>a</i>₁/_<i>a</i>₂ + ^<i>a</i>₂/_<i>a</i>₃ + ^<i>a_n</i>/_<i>a</i>₁   – целое число?

Палиндром – это натуральное число, которое читается одинаково слева направо и справа налево (например, 1, 343 и 2002 палиндромы).

Найдутся ли 2005 пар вида  (<i>n, n</i> + 110),  где оба числа – палиндромы?

На плоскости лежал куб. Его перекатили несколько раз (через рёбра) так, что куб снова оказался на исходном месте той же гранью вверх.

Могла ли при этом верхняя грань повернуться на 90° относительно своего начального положения?

На сторонах прямоугольного треугольника <i>ABC</i> построены во внешнюю сторону квадраты с центрами <i>D, E, F</i>.

Докажите, что отношение  <i>S_DEF</i> : <i>S_ABC</i>   а) больше 1;   б) не меньше 2.

Дан отрезок длины  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65819/problem_65819_img_2.gif">  Можно ли построить циркулем и линейкой (на которой нет делений) отрезок длины 1?

Можно ли уместить два точных куба между соседними точными квадратами?

Иными словами, имеет ли решение в целых числах неравенство:  <i>n</i>² < <i>a</i>³ < <i>b</i>³ < (<i>n</i> + 1)²?

Отрезок единичной длины разбили на 11 отрезков, длина каждого из которых не превосходит <i>а</i>.

При каких значениях <i>а</i> можно утверждать, что из любых трёх получившихся отрезков можно составить треугольник?

В каждой вершине куба записано по числу. Вместо каждого числа записывают среднее арифметическое чисел, стоящих в трёх соседних вершинах (числа заменяют одновременно). После десяти таких операций в каждой вершине оказалось исходное число. Обязательно ли все исходные числа были одинаковы?

Дан треугольник <i>ABC</i>. Точки <i>M</i>₁, <i>M</i>₂, <i>M</i>₃ – середины сторон <i>AB, BC</i> и <i>AC</i>, a точки <i>H</i>₁, <i>H</i>₂, <i>H</i>₃ – основания высот, лежащие на тех же сторонах.

Докажите, что из отрезков <i>H</i>₁<i>M</i>₂, <i>H</i>₂<i>M</i>₃ и <i>H</i>₃<i>M</i>₁ можно построить треугольник.