Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс»
осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
НазадНа плоскости лежал куб. Его перекатили несколько раз (через рёбра) так, что куб снова оказался на исходном месте той же гранью вверх.
Могла ли при этом верхняя грань повернуться на 90° относительно своего начального положения?
На сторонах прямоугольного треугольника <i>ABC</i> построены во внешнюю сторону квадраты с центрами <i>D, E, F</i>.
Докажите, что отношение <i>S<sub>DEF</sub></i> : <i>S<sub>ABC</sub></i> а) больше 1; б) не меньше 2.
Дан отрезок длины <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65819/problem_65819_img_2.gif"> Можно ли построить циркулем и линейкой (на которой нет делений) отрезок длины 1?
Можно ли уместить два точных куба между соседними точными квадратами?
Иными словами, имеет ли решение в целых числах неравенство: <i>n</i>² < <i>a</i>³ < <i>b</i>³ < (<i>n</i> + 1)²?
Есть шесть монет, одна из которых фальшивая (она отличается по весу от настоящей, но её вес, как и вес настоящей монеты, неизвестен).
Как за три взвешивания с помощью весов, показывающих общий вес взвешиваемых монет, найти фальшивую монету?