Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс»

У Пети есть <i>n</i>³ белых кубиков 1×1×1. Он хочет сложить из них куб <i>n</i>×<i>n</i>×<i>n</i>, снаружи полностью белый. Какое наименьшее число граней кубиков должен закрасить Вася, чтобы помешать Пете? Решите задачу при   a)  <i>n</i> = 2;   б)  <i>n</i> = 3.

Аня, Боря и Витя сидят по кругу за столом и едят орехи. Сначала все орехи у Ани. Она делит их поровну между Борей и Витей, а остаток (если он есть) съедает. Затем все повторяется: каждый следующий (по часовой стрелке) делит имеющиеся у него орехи поровну между соседями, а остаток съедает. Орехов много (больше 3). Докажите, что:   a) хотя бы один орех будет съеден;   б) все орехи не будут съедены.

Известно, что число <i>a</i> положительно, а неравенство  1 < <i>xa</i> < 2  имеет ровно три решения в целых числах.

Сколько решений в целых числах может иметь неравенство  2 < <i>xa</i> < 3 ?

В клетках первого столбца таблицы <i>n</i>&times<i>n</i> записаны единицы, в клетках второго – двойки, ..., в клетках <i>n</i>-го – числа <i>n</i>. Числа на диагонали, соединяющей левое верхнее число с правым нижним, стёрли. Докажите, что суммы чисел по разные стороны от этой диагонали отличаются ровно в два раза.

В треугольнике <i>ABC</i>  ∠<i>A</i> = 60°.  Серединный перпендикуляр к стороне <i>AB</i> пересекает прямую <i>AC</i> в точке <i>N</i>. Серединный перпендикуляр к стороне <i>AC</i> пересекает прямую <i>AB</i> в точке <i>M</i>. Докажите, что  <i>CB = MN</i>.