Задача
На сторонах прямоугольного треугольника ABC построены во внешнюю сторону квадраты с центрами D, E, F.
Докажите, что отношение SDEF : SABC а) больше 1; б) не меньше 2.
Решение
Пусть угол C прямой, D, E, F – центры квадратов, построенных соответственно на сторонах BC, AC и AB, O – середина AB. Способ 1. ТочкиCиFлежат на окружности с диаметромAB, поэтому ∠ACF= ∠ABF= 45°. Следовательно, CF⊥DE и SDEF= ½FC·DE. а) Пусть K – точка пересечения CF и AB. Поскольку CF || BD || AE (все они перпендикулярны DE), то
SABC = SACK + SBCK = SECK + SDCK = SDEK < SDEF. б) SDEF – SABC = SDEF – SDEK = SFDK + SFEK = SFBK + SFAK = SAFB = ½ FO·AB ≥ ½ hС·AB = SABC (hС – высота треугольника ABC, hС ≤ CO = FO). Способ 2. б) Построим прямоугольник ACBG и опишем вокруг него квадрат DEMN. При повороте на 90° вокруг центра этого квадрата он перейдёт в себя, а точка A – в точку F. Значит, точка F лежит на стороне MN. Заметим, что SDEF = ½ SDEMN. Загнув "уголки" квадрата, не входящие в прямоугольник (см. рис.), мы его полностью покроем. Значит, 2SABC = SABCG ≤ ½ SDEMN.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь