Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, основной вариант, 10-11 класс»
весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
НазадМуравей ползает по замкнутому маршруту по рёбрам додекаэдра, нигде не разворачиваясь назад. Маршрут проходит ровно два раза по каждому ребру.
Докажите, что некоторое ребро муравей оба раза проходит в одном и том же направлении.
На окружности сидят 12 кузнечиков в различных точках. Эти точки делят окружность на 12 дуг. Отметим 12 середин дуг. По сигналу кузнечики одновременно прыгают, каждый – в ближайшую по часовой стрелке отмеченную точку. Снова образуются 12 дуг, прыжки в середины дуг повторяются, и т. д. Может ли хотя бы один кузнечик вернуться в свою исходную точку после того, как им сделано a) 12 прыжков; б) 13 прыжков?
Докажите, что можно найти бесконечно много таких пар целых чисел, что в десятичной записи каждого числа все цифры не меньше 7 и произведение чисел каждой пары – тоже число, где все цифры не меньше 7.
На биссектрисе <i>AA</i><sub>1</sub> треугольника <i>ABC</i> выбрана точка <i>X</i>. Прямая <i>BX</i> пересекает сторону <i>AC</i> в точке <i>B</i><sub>1</sub>, а прямая <i>CX</i> пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>C</i><sub>1</sub>. Отрезки <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub> пересекаются в точке <i>P</i>, а отрезки <i>A</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> и <i>BB</i><sub>1</sub> пересекаются в точке <i>Q</i>. Докажите, что углы <i>PAC</i&g...
Докажите, что любая натуральная степень многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i><sup>4</sup> + <i>x</i>³ – 3<i>x</i>² + <i>x</i> + 2 имеет хотя бы один отрицательный коэффициент.
Существуют ли такие натуральные <i>n</i> и <i>k</i>, что десятичная запись числа 2<sup><i>n</i></sup> начинается числом 5<sup><i>k</i></sup>, а десятичная запись числа 5<sup><i>n</i></sup> начинается числом 2<sup><i>k</i></sup>?
Дан выпуклый 100-угольник. Докажите, что можно отметить такие 50 точек внутри этого многоугольника, что каждая вершина будет лежать на прямой, проходящей через какие-то две из отмеченных точек.