Олимпиадные задачи из «X Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2014 г.)» для 11 класса

Задача 164887 • Сложность: 3 • 11 класс

Дана описанная четырёхугольная пирамида ABCDS. Противоположные стороны основания пересекаются в точках P и Q, причём точки A и B лежат на отрезках PD и PC. Вписанная сфера касается боковых граней ABS и BCS в точках K и L. Докажите, что если прямые PK и QL пересекаются, то точка касания сферы и основания лежит на отрезке BD.

Задача 164886 • Сложность: 3 • 11 класс

Дана тригармоническая четвёрка точек A, B, C и D (то есть AB·CD = AC·BD = AD·BC). Пусть A1 – такая отличная от A точка, что четвёрка точек A1, B, C и D тригармоническая. Точки B1, C1 и D1 определяются аналогично. Докажите, что

a) A, B, C1, D1 лежат на одной окружности;

б) точки A1, B1, C...

Акопян А. В. Планиметрия Стереометрия Проективная геометрия

Задача 164885 • Сложность: 2 • 10-11 класс

Существует ли выпуклый многогранник, у которого есть диагонали и каждая диагональ меньше любого ребра?

Блинков А. Д. Стереометрия Примеры и контрпримеры. Конструкции

Задача 164884 • Сложность: 4 • 10-11 класс

В четырёхугольнике ABCD вписанная окружность ω касается сторон BC и DA в точках E и F соответственно. Оказалось, что прямые AB, FE и CD пересекаются в одной точке S. Описанные окружности Ω и Ω1 треугольников AED и BFC, вторично пересекают окружность ω в точках E1 и F1. Докажите, что прямые EF и E1F1 параллельны.

Скробот Д. Полянский Н. Планиметрия

Задача 164883 • Сложность: 4 • 10-11 класс

Дан четырёхугольник KLMN. Окружность с центром O пересекает его сторону KL в точках A и A1, сторону LM в точках B и B1, и т.д. Докажите что

а) если описанные окружности треугольников KDA, LAB, MBC и NCD пересекаются в одной точке P, то описанные окружности треугольников KD1A1, LA1B1, MB1C1</sub&g...

Белухов Н. Планиметрия

Задача 164882 • Сложность: 3 • 10-11 класс

Окружности ω1 и ω2 касаются друг друга внешним образом в точке P. Из точки A окружности ω2, не лежащей на линии центров окружностей, проведены касательные AB, AC к ω1. Прямые BP, CP вторично пересекают ω2 в точках E и F. Докажите, что прямая EF, касательная к ω2 в точке A, и общая касательная к окружностям в точке P пересекаются в одной точке.

Ясинский В. Планиметрия Проективная геометрия

Задача 164881 • Сложность: 4 • 10-11 класс

Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром I. Касательные к описанной окружности треугольника AIC в точках A, C пересекаются в точке X. Касательные к описанной окружности треугольника BID в точках B, D пересекаются в точке Y. Докажите, что точки X, I, Y лежат на одной прямой.

Заславский А. А. Планиметрия

Задача 164880 • Сложность: 3 • 10-11 класс

Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой AC, проведена биссектриса треугольника BD; отмечены середины E и F дуг BD окружностей, описанных около треугольников ADB и CDB соответственно (сами окружности не проведены). Постройте одной линейкой центры окружностей.

Москвитин Н. А. Планиметрия

Задача 164879 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Из некоторой точки D в плоскости треугольника ABC провели прямые, перпендикулярные к отрезкам DA, DB, DC, которые пересекают прямые BC, AC, AB в точках A1, B1, C1 соответственно. Докажите, что середины отрезков AA1, BB1, CC1 лежат на одной прямой.

Прокопенко Д. Планиметрия

Задача 164878 • Сложность: 3 • 9-11 класс

В неравнобедренном треугольнике ABC высота из вершины A, биссектриса из вершины B и медиана из вершины C пересекаются в одной точке K.

а) Какая из сторон треугольника средняя по величине?

б) Какой из отрезков AK, BK, CK средний по величине?

Френкин Б. Р. Заславский А. А. Планиметрия

Задача 164877 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Постройте такое подмножество круга, площадью в половину площади круга, что его образ при симметрии относительно любого диаметра пересекается с ним по площади, равной четверти круга.

Фольклор Планиметрия Примеры и контрпримеры. Конструкции

Задача 164876 • Сложность: 3 • 9-11 класс

На окружности ω c центром O фиксированы точки A и C. Точка B движется по дуге AC. Точка P – фиксированная точка хорды AC. Прямая, проходящая через P параллельно AO, пересекает прямую BA в точке A1; прямая, проходящая через P параллельно CO, пересекает прямую BC в точке C1. Докажите, что центр описанной окружности треугольника A1BC1 движется по прямой.

Прокопенко Д. Швецов Д. В. Планиметрия

Задача 164875 • Сложность: 2 • 9-11 класс

Окружности ω1 и ω2 пересекаются в точках A и B. Точки K1 и K2 на ω1 и ω2 соответственно таковы, что K1A касается ω2, а K2A касается ω1. Описанная окружность треугольника K1BK2 пересекает вторично прямые AK1 и AK2 в точках L<sub&...

Макаров И. В. Планиметрия

Задача 164863 • Сложность: 3 • 10-11 класс

Верно ли, что существуют выпуклые многогранники с любым количеством диагоналей? (Диагональю называется отрезок, соединяющий две вершины многогранника и не лежащий на его поверхности.)

Блинков А. Д. Стереометрия Комбинаторная геометрия Примеры и контрпримеры. Конструкции

Задача 164862 • Сложность: 4 • 10-11 класс

Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Внутри треугольника BCD взяли точку La, расстояния от которой до сторон треугольника пропорциональны этим сторонам. Аналогично внутри треугольников ACD, ABD, ABC взяли точки Lb, Lc и Ld соответственно. Оказалось, что четырёхугольник LaLbLcLd вписанный. Докажите, что у ABCD есть две параллельные стороны.

Белухов Н. Планиметрия Проективная геометрия

Задача 164861 • Сложность: 3 • 10-11 класс

Докажите, что для любого тетраэдра его самый маленький двугранный угол (из шести) не больше чем двугранный угол правильного тетраэдра.

Шлосман С. Огиевецкий О. Стереометрия Принцип Дирихле

Задача 164860 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Вписанная окружность разностороннего треугольника ABC касается стороны AB в точке C'. Окружность с диаметром BC' пересекает вписанную окружность вторично в точке A1, а биссектрису угла B вторично в точке A2. Окружность с диаметром AC' пересекает вписанную окружность вторично в точке B1, а биссектрису угла A вторично в точке B2. Докажите, что прямые AB, A1B1, A2</su...

Garsia E. H. Планиметрия

Задача 164858 • Сложность: 4 • 9-11 класс

Дан фиксированный треугольник ABC. Пусть D – произвольная точка в плоскости треугольника, не совпадающая с его вершинами. Окружность с центром в D, проходящая через A, пересекает вторично прямые AB и AC в точках Ab и Ac соответственно. Аналогично определяются точки Ba, Bc, Ca и Cb. Точку D назовём хорошей, если точки Ab, Ac, Ba, Bc...

Соколов А. Гаркавый А. Планиметрия

Задача 164813 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Даны окружность, её хорда AB и середина W меньшей дуги AB. На большей дуге AB выбирается произвольная точка C. Касательная к окружности, проведённая из точки C, пересекает касательные, проведённые из точек A и B, в точках X и Y соответственно. Прямые WX и WY пересекают прямую AB в точках N и M соответственно. Докажите, что длина отрезка NM не зависит от выбора точки C.

Скробот Д. Зерцалов А. Планиметрия

Олимпиадные задачи из источника «X Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2014 г.)» для 11 класса

Категории

X Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2014 г.)

Фильтры

Фильтры

Олимпиадные задачи из источника «X Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2014 г.)» для 11 класса

Категории

X Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2014 г.)

Фильтры

Фильтры

Подтверждение удаления