Олимпиадные задачи из источника «VII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2011 г.)» для 10 класса

Три равных правильных тетраэдра имеют общий центр. Могут ли все грани многогранника, являющегося их пересечением, быть равны?

Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>.

Найдите на сторонах <i>BC, CA, AB</i> такие точки <i>A', B', C'</i>, чтобы наибольшая сторона треугольника <i>A'B'C'</i> была минимальна.

Дан треугольник <i>ABC</i> и прямая <i>l</i>, пересекающая <i>BC, CA</i> и <i>AB</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ соответственно. Точка <i>A'</i> – середина отрезка, соединяющего проекции <i>A</i>₁ на <i>AB</i> и <i>AC</i>. Аналогично определяются точки <i>B'</i> и <i>C'</i>.

  а) Докажите, что <i>A', B'</i> и <i>C'</i> лежат на некоторой прямой <i>l'</i>.

  б) Докажите, что, если <i>l</i> проходит через центр описанной окружности треугольника <...

Из вершины <i>C</i> треугольника <i>ABC</i> проведены касательные <i>CX</i>, <i>CY</i> к окружности, проходящей через середины сторон треугольника.

Докажите, что прямые <i>XY, AB</i> и касательная в точке <i>C</i> к описанной окружности треугольника <i>ABC</i>, пересекаются в одной точке.

На окружности с диаметром <i>AC</i> выбрана произвольная точка <i>B</i>, отличная от <i>A</i> и <i>C</i>. Пусть <i>M, N</i> – середины хорд <i>AB, BC</i>, а <i>P, Q</i> – середины меньших дуг, стягиваемых этими хордами. Прямые <i>AQ</i> и <i>BC</i> пересекаются в точке <i>K</i>, а прямые <i>CP</i> и <i>AB</i> – в точке <i>L</i>.

Докажите, что прямые <i>MQ, NP</i> и <i>KL</i> пересекаются в одной точке.

Четырёхугольник <i>ABCD</i> описан около окружности с центром <i>I</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> – середины диагоналей <i>AC</i> и <i>BD</i>.

Докажите, что четырёхугольник <i>ABCD</i> – вписанный тогда и только тогда, когда  <i>IM</i> : <i>AC = IN</i> : <i>BD</i>.

Существует ли неравнобедренный треугольник, у которого медиана, проведённая из одной вершины, биссектриса, проведённая из другой, и высота, проведённая из третьей, равны?

На плоскости проведены  <i>n</i> > 2  прямых общего положения (то есть никакие две прямые не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке). Эти прямые разрезали плоскость на несколько частей. Какое

  а) наименьшее;

  б) наибольшее

количество углов может быть среди этих частей?

а) Существует ли треугольник, в котором наименьшая медиана длиннее наибольшей биссектрисы?б) Существует ли треугольник, в котором наименьшая биссектриса длиннее наибольшей высоты?

Дан треугольник <i>ABC</i> и прямая <i>l</i>. Прямые, симметричные <i>l</i> относительно <i>AB</i> и <i>AC</i> пересекаются в точке <i>A₁</i>. Точки <i>B₁</i>, <i>C₁</i> определяются аналогично. Докажите, что

  а) прямые <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁, <i>CC</i>₁ пересекаются в одной точке;

  б) эта точка лежит на описанной окружности треугольника <i>ABC</i> ;

  в) точки, построенные указанным способом для двух перпендикулярных прямых, диаметрально противоположны.

Дана окружность с центром <i>O</i> и радиусом 1. Из точки <i>A</i> к ней проведены касательные <i>AB</i> и <i>AC</i>. Точка <i>M</i>, лежащая на окружности, такова, что четырёхугольники <i>OBMC</i> и <i>ABMC</i> имеют равные площади. Найдите <i>MA</i>.

В треугольнике <i>ABC</i> высота и медиана, проведённые из вершины <i>A</i>, образуют (вместе с прямой <i>BC</i>) треугольник, в котором биссектриса угла <i>A</i> является медианой, а высота и медиана, проведённые из вершины <i>B</i>, образуют (вместе с прямой <i>AC</i>) треугольник, в котором биссектриса угла <i>B</i> является биссектрисой. Найдите отношение сторон треугольника <i>ABC</i>.

а) Найдите геометрическое место центров тяжести треугольников, вершины которых лежат на сторонах данного треугольника (по одной вершине внутри каждой стороны).б) Найдите геометрическое место центров тяжести тетраэдров, вершины которых лежат на гранях данного тетраэдра (по одной вершине внутри каждой грани).

Пусть <i>AP</i> и <i>BQ</i> – высоты данного остроугольного треугольника <i>ABC</i>. Постройте циркулем и линейкой на стороне <i>AB</i> точку <i>M</i> так, чтобы

∠<i>AQM</i> = ∠<i>BPM</i>.

Вневписанная окружность прямоугольного треугольника <i>ABC</i>  (∠<i>B</i> = 90°)  касается стороны <i>BC</i> в точке <i>A</i>₁, а прямой <i>AC</i> в точке <i>A</i>₂. Прямая <i>A</i>₁<i>A</i>₂ пересекает (первый раз) вписанную окружность треугольника <i>ABC</i> в точке <i>A'</i>; аналогично определяется точка <i>C'</i>. Докажите, что  <i>AC || A'C'</i>.

Есть лист жести размером 6×6. Разрешается надрезать его, но так, чтобы он не распадался на части, и сгибать.

Как сделать куб с ребром 2, разделённый перегородками на единичные кубики?

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i>  <i>O</i> – центр описанной окружности, <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ – основания высот. На прямых <i>OA</i>₁, <i>OB</i>₁, <i>OC</i>₁ нашли такие точки <i>A', B', C'</i> соответственно, что четырёхугольники <i>AOBC', BOCA', COAB'</i> вписанные. Докажите, что описанные окружности треугольников <i>AA</i>₁<i>A', BB</i>₁<i>B', CC</i>₁<i>C'</i&...

Докажите, что для любого неравнобедренного треугольника   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64987/problem_64987_img_2.gif"> ,   где <i>l</i>₁, <i>l</i>₂ – наибольшая и наименьшая биссектрисы треугольника, <i>S</i> – его площадь.

Точка касания вневписанной окружности со стороной треугольника и основание высоты, проведённой к этой стороне, симметричны относительно основания биссектрисы, проведённой к этой же стороне. Докажите, что эта сторона составляет треть периметра треугольника.

На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>D</i>. В угол <i>ADC</i> вписана окружность, касающаяся изнутри описанной окружности треугольника <i>ACD</i>, а в угол <i>BDC</i> – окружность, касающаяся изнутри описанной окружности треугольника <i>BCD</i>. Оказалось, что эти окружности касаются отрезка <i>CD</i> в одной и той же точке <i>X</i>. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из <i>X</i> на <i>AB</i>, проходит через центр вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Дано два тетраэдра <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃<i>A</i>₄ и <i>B</i>₁<i>B</i>₂<i>B</i>₃<i>B</i>₄. Рассмотрим шесть пар рёбер <i>A_iA_j</i> и <i>B_kB_l</i>, где  (<i>i, j, k, l</i>)  – перестановка чисел  (1, 2, 3, 4)  (например, <i>A</i>₁<i>A</i>₂ и <i>B</i>₃<i>B</i><sub>4&l...

Четырёхугольник <i>ABCD</i> описан вокруг окружности, касающейся сторон <i>AB, BC, CD, DA</i> в точках <i>K, L, M, N</i> соответственно. Точки <i>A', B', C', D'</i> – середины отрезков <i>LM, MN, NK, KL</i>. Докажите, что четырёхугольник, образованный прямыми <i>AA', BB', CC', DD'</i>, – вписанный.

В треугольнике <i>ABC</i> середины сторон <i>AC, BC</i>, вершина <i>C</i> и точка пересечения медиан лежат на одной окружности.

Докажите, что она касается окружности, проходящей через вершины <i>A, B</i> и ортоцентр треугольника <i>ABC</i>.

Выпуклый <i>n</i>-угольник <i>P</i>, где  <i>n</i> > 3,  разрезан на равные треугольники диагоналями, не пересекающимися внутри него.

Каковы возможные значения <i>n</i>, если <i>n</i>-угольник описанный?

В угол вписаны две окружности ω и Ω. Прямая <i>l</i> пересекает стороны угла в точках <i>A</i> и <i>F</i>, окружность ω в точках <i>B</i> и <i>C</i>, окружность Ω в точках <i>D</i> и <i>E</i> (порядок точек на прямой – <i>A, B, C, D, E, F</i>). Пусть  <i>BC = DE</i>.  Докажите, что  <i>AB = EF</i>.