Решение 1:Пусть T – прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 1003, а один из катетов – 1. Из двух таких треугольников составим прямоугольник, а из 1003 таких прямоугольников – прямоугольник со стороной 1003. Теперь приложим к одной из сторон этого прямоугольника равнобедренный треугольник, составленный из двух треугольников, равных T, а к противоположной стороне четырёхугольник из трёх таких треугольников (см. рис.).

Решение 2:Возьмём квадрат со стороной 34 и отрежем от трёх его углов равнобедренные прямоугольные треугольники с катетами 3, 6 и 16. Получится семиугольник, который можно разрезать на равнобедренные прямоугольные треугольники с катетом 1, причём число этих треугольников равно

2·34² – 9 – 36 – 256 = 2011.

Решение 3:Пусть T – равнобедренный треугольник с основанием 1 и углом при вершине 120°. Тогда правильный треугольник со стороной 1 можно разрезать на три треугольника, равных T. С другой стороны, из 335 правильных треугольников можно сложить равнобедренную трапецию с основаниями 168 и 167 и боковыми сторонами 1. Две таких трапеции, соединенные большими основаниями, образуют выпуклый шестиугольник, составленный из 2010 треугольников, равных T. Приложив к его меньшей стороне ещё один такой треугольник, получим искомый семиугольник.

Существует.