Олимпиадные задачи из источника «VI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2010 г.)» для 6-10 класса

Дана прямая <i>l</i> в пространстве и точка <i>A</i>, не лежащая на ней. Для каждой прямой <i>l'</i>, проходящей через <i>A</i>, построим общий перпендикуляр <i>XY</i> (<i>Y</i> лежит на <i>l'</i>) к прямым <i>l</i> и <i>l'</i>. Найдите ГМТ точек <i>Y</i>.

Шестиугольник <i>ABCDEF</i> вписан в окружность. Известно, что  <i>AB·CF</i> = 2<i>BC·FA</i>,  <i>CD·EB</i> = 2<i>DE·BC</i>,  <i>EF·AD</i> = 2<i>FA·DE</i>.

Докажите, что прямые <i>AD, BE</i> и <i>CF</i> пересекаются в одной точке.

Окружность с центром <i>F</i> и парабола с фокусом <i>F</i> пересекаются в двух точках.

Докажите, что на окружности найдутся такие четыре точки <i>A, B, C, D</i>, что прямые <i>AB, BC, CD</i> и <i>DA</i> касаются параболы.

Дан выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>. Известно, что  ∠<i>ABD</i> + ∠<i>ACD</i> > ∠<i>BAC</i> + ∠<i>BDC</i>.  Докажите, что  <i>S_ABD + S_ACD > S_BAC + S_BDC</i>.

Вписанная окружность остроугольного треугольника <i>ABC</i> касается его сторон <i>AB, BC, CA</i> в точках <i>C</i>₁, <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ соответственно. Пусть <i>A</i>₂, <i>B</i>₂ – середины отрезков <i>B</i>₁<i>C</i>₁, <i>A</i>₁<i>C</i>₁ соответственно, <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC, P</i> – одна из точек пересечения прямой <i>CO</i> с вписанной окружностью. Прямые <i>PA</i><s...

Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность с центром <i>O</i>. Точки <i>C'</i> и <i>D'</i> диаметрально противоположны точкам <i>C</i> и <i>D</i> соответственно. Касательные к окружности в точках <i>C'</i> и <i>D'</i> пересекают прямую <i>AB</i> в точках <i>E</i> и <i>F</i> (<i>A</i> лежит между <i>E</i> и <i>B, B</i> – между <i>A</i> и <i>F</i>). Прямая <i>EO</i> пересекает стороны <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i>, а прямая <i>FO</i> пересекает стороны <i>AD</i> и <i>BD...

На хорде <i>AC</i> окружности ω выбрали точку <i>B</i>. На отрезках <i>AB</i> и <i>BC</i> как на диаметрах построили окружности ω₁ и ω₂ с центрами <i>O</i>₁ и <i>O</i>₂, которые пересекают ω второй раз в точках <i>D</i> и <i>E</i> соответственно. Лучи <i>O</i>₁<i>D</i> и <i>O</i>₂<i>E</i> пересекаются в точке <i>F</i>. Лучи <i>AD</i> и <i>CE</i> пересекаются в точке <i>G</i>.

Докажите, что прямая <i>FG</i> проходит через середину <i>AC</i>....

Постройте треугольник по высоте и биссектрисе, проведённым из одной вершины, и медиане, проведённой из другой вершины.

В угол с вершиной <i>A</i> вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках <i>B</i> и <i>C</i>. Прямая, проходящая через <i>A</i>, пересекает окружность в точках <i>D</i> и <i>E</i>. Хорда <i>BX</i> параллельна прямой <i>DE</i>. Докажите, что отрезок <i>XC</i> проходит через середину отрезка <i>DE</i>.

В остроугольном треугольнике <i>ABC  AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ – высоты. Прямые <i>AA</i>₁ и <i>B</i>₁<i>C</i>₁ пересекаются в точке <i>K</i>. Окружности, описанные вокруг треугольников <i>A</i>₁<i>KC</i>₁ и <i>A</i>₁<i>KB</i>₁, вторично пересекают прямые <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>N</i> и <i>L</i> соответственно. Докажите, что

  а) сумма диаметров этих окружностей равна...

На стороне <i>AD</i> выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> нашлась такая точка <i>M</i>, что <i>CM</i> и <i>BM</i> параллельны <i>AB</i> и <i>CD</i> соответственно.

Докажите, что  <i>S_ABCD</i> ≥ 3<i>S_BCM</i>.

В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD  AB = BC</i>.  На диагонали <i>BD</i> выбрана такая точка <i>K</i>, что  ∠<i>AKB</i> + ∠<i>BKC</i> = ∠<i>A</i> + ∠<i>C</i>.

Докажите, что  <i>AK·CD = KC·AD</i>.

В прямоугольном треугольнике <i>ABC  CH</i> – высота, проведённая к гипотенузе. Окружность с центром <i>H</i> и радиусом <i>CH</i> пересекает больший катет <i>AC</i> в точке <i>M</i>. Точка <i>B'</i> симметрична точке <i>B</i> относительно <i>H</i>. В точке <i>B'</i> восставлен перпендикуляр к гипотенузе, который пересекает окружность в точке <i>K</i>. Докажите, что:

  а)  <i>B'M || BC</i>;

  б)  <i>AK</i> – касательная к окружности.

Выпуклый <i>n</i>-угольник разрезан на три выпуклых многоугольника. У одного из них <i>n</i> сторон, у другого – больше чем <i>n</i>, у третьего – меньше чем <i>n</i>.

Каковы возможные значения <i>n</i>?

Дан треугольник <i>ABC</i>. С помощью двусторонней линейки, проведя не более восьми линий, постройте на стороне <i>AB</i> такую точку <i>D</i>, что

<i>AD</i> : <i>BD = BC</i> : <i>AC</i>.

Назовём точку внутри треугольника <i>хорошей</i>, если три проходящие через неё чевианы равны. В треугольнике <i>ABC</i> стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> равны, а количество хороших точек нечётно. Чему оно может быть равно?

В треугольнике <i>ABC</i> проведена высота <i>AH</i>. Точки <i>I_b</i> и <i>I_c</i> – центры вписанных окружностей треугольников <i>ABH</i> и <i>CAH</i>; <i>L</i> – точка касания вписанной окружности треугольника <i>ABC</i> со стороной <i>BC</i>. Найдите угол <i>LI_bI_c</i>.

Через вершину <i>B</i> треугольника <i>ABC</i> проведена прямая, перпендикулярная медиане <i>BM</i>. Эта прямая пересекает высоты, выходящие из вершин <i>A</i> и <i>C</i> (или их продолжения), в точках <i>K</i> и <i>N</i>. Точки <i>O</i>₁ и <i>O</i>₂ – центры описанных окружностей треугольников <i>ABK</i> и <i>CBN</i> соответственно. Докажите, что  <i>O</i>₁<i>M = O</i>₂<i>M</i>.

На стороне <i>BC</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i> взяты такие точки <i>M</i> и <i>N</i> (<i>M</i> лежит между <i>B</i> и <i>N</i>) , что  ∠<i>MAN</i> = 30°.  Описанные окружности треугольников <i>AMC</i> и <i>ANB</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Докажите, что прямая <i>AK</i> содержит центр описанной окружности треугольника <i>AMN</i>.

На высоте <i>BD</i> треугольника <i>ABC</i> взята такая точка <i>E</i>, что  ∠<i>AEC</i> = 90°.  Точки <i>O</i>₁ и <i>O</i>₂ – центры описанных окружностей треугольников <i>AEB</i> и <i>CEB; F, L</i> – середины отрезков <i>AC</i> и <i>O</i>₁<i>O</i>₂. Докажите, что точки <i>L, E, F</i> лежат на одной прямой.

Диагонали вписанного четырёхугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>N</i>. Описанные окружности треугольников <i>ANB</i> и <i>CND</i> повторно пересекают стороны <i>BC</i> и <i>AD</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁, <i>D</i>₁. Докажите, что четырёхугольник <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁ вписан в окружность с центром <i>N</i>.

Точки <i>A', B', C'</i> лежат на сторонах <i>BC, CA, AB</i> треугольника <i>ABC</i>. Точка <i>X</i> такова, что  ∠<i>AXB</i> = ∠<i>A'C'B'</i> + ∠<i>ACB</i>  и  ∠<i>BXC</i> = ∠<i>B'A'C'</i> + ∠<i>BAC</i>.

Докажите, что четырёхугольник <i>XA'BC'</i> – вписанный.

В прямоугольном треугольнике <i>ABC</i>  (∠<i>C</i> = 90°)  биссектрисы <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁ пересекаются в точке <i>I</i>. Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>CA</i>₁<i>B</i>₁. Докажите, что  <i>OI</i> ⊥ <i>AB</i>.

Существует ли треугольник, в котором одна сторона равна какой-то из его высот, другая – какой-то из биссектрис, а третья – какой-то из медиан?

Вокруг треугольника <i>ABC</i> описали окружность <i>k</i>. На сторонах треугольника отметили три точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁, после чего сам треугольник стёрли. Докажите, что его можно однозначно восстановить тогда и только тогда, когда прямые <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ пересекаются в одной точке.