Олимпиадные задачи из источника «Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов)» - сложность 3 с решениями

Какое наибольшее количество белых и чёрных пешек можно расставить на клетчатой доске 9×9 (пешку, независимо от её цвета, можно ставить на любую клетку доски) так, чтобы никакая из них не била никакую другую (в том числе и своего цвета)? Белая пешка бьёт две соседние по диагонали клетки на соседней горизонтали с бóльшим номером, а чёрная – две соседние по диагонали клетки на соседней горизонтали с меньшим номером (см. рисунок).<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65099/problem_65099_img_2.jpg"></div>

По окружности записали красным пять несократимых дробей с нечётными знаменателями, большими 10¹⁰. Между каждыми двумя соседними красными дробями вписали синим несократимую запись их суммы. Могло ли случиться, что у синих дробей все знаменатели меньше 100?

Внутри выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i>, в котором  <i>AB = CD</i>,  выбрана точка <i>P</i> таким образом, что сумма углов <i>PBA</i> и <i>PCD</i> равна 180°.

Докажите, что  <i>PB + PC < AD</i>.

Имеются три литровых банки и мерка объемом 100 мл. Первая банка пуста, во второй – 700 мл сладкого чая, в третьей – 800 мл сладкого чая. При этом во второй банке растворено 50 г сахара, а в третьей – 60 г сахара. Разрешается набрать из любой банки полную мерку чая и перелить весь этот чай в любую другую банку. Можно ли несколькими такими переливаниями добиться, чтобы первая банка была пуста, а количество сахара во второй банке равнялось количеству сахара в третьей банке?

За круглым столом сидят 40 человек. Может ли случиться, что у каждых двух из них, между которыми сидит чётное число человек, есть за столом общий знакомый, а у каждых двух, между которыми сидит нечётное число человек, общего знакомого нет?

В треугольнике <i>ABC</i> точки <i>М</i> и <i>N</i> – середины сторон <i>АС</i> и <i>АВ</i> соответственно. На медиане <i>ВМ</i> выбрана точка <i>Р</i>, не лежащая на <i>CN</i>. Оказалось, что

<i>PC</i> = 2<i>PN</i>.  Докажите, что  <i>АР = ВС</i>.

Для четырёх различных целых чисел подсчитали все их попарные суммы и попарные произведения. Полученные суммы и произведения выписали на доску. Какое наименьшее количество различных чисел могло оказаться на доске?

Среди 100 монет есть четыре фальшивых. Все настоящие монеты весят одинаково, фальшивые – тоже, фальшивая монета легче настоящей.

Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь найти хотя бы одну настоящую монету?

Докажите, что для произвольных <i>a, b, с</i> равенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65082/problem_65082_img_2.gif">   выполнено тогда и только тогда, когда выполнено равенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65082/problem_65082_img_3.gif">.

В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> углы <i>B</i> и <i>D</i> равны,  <i>CD</i> = 4<i>BC</i>,  а биссектриса угла <i>A</i> проходит через середину стороны <i>CD</i>.

Чему может быть равно отношение  <i>AD</i> : <i>AB</i>?

На полке в произвольном порядке стоят десять томов энциклопедии, пронумерованных от 1 до 10. Разрешается менять местами любые два тома, между которыми стоит не меньше четырёх других томов. Всегда ли можно расставить все тома по возрастанию номеров?

В вершинах куба расставили числа 1², 2², ..., 8² (в каждую из вершин – по одному числу). Для каждого ребра посчитали произведение чисел в его концах. Найдите наибольшую возможную сумму всех этих произведений.

В четырёхугольнике <i>ABCD </i>сторона <i>AB</i> равна диагонали <i>AC</i> и перпендикулярна стороне <i>AD</i>, а диагональ <i>AC</i> перпендикулярна стороне <i>CD</i>. На стороне <i>AD</i> взята такая точка <i>K</i> , что  <i>AC = AK</i>.  Биссектриса угла <i>ADC</i> пересекает <i>BK</i> в точке <i>M</i>. Найдите угол <i>ACM</i>.

В Швамбрании некоторые города связаны двусторонними беспосадочными авиарейсами. Рейсы разделены между тремя авиакомпаниями, причём если какая-то авиакомпания обслуживает линию между городами А и Б, то самолёты других компаний между этими городами не летают. Известно, что из каждого города летают самолёты всех трёх компаний. Докажите, что можно, вылетев из некоторого города, вернуться в него, воспользовавшись по пути рейсами всех трёх компаний и не побывав ни в одном из промежуточных городов дважды.

Биссектрисы углов <i>A</i> и <i>C</i> трапеции <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>P</i>, а биссектрисы углов <i>B</i> и <i>D</i> – в точке <i>Q</i>, отличной от <i>P</i>.

Докажите, что если отрезок <i>PQ</i> параллелен основанию <i>AD</i>, то трапеция равнобокая.

При каком наибольшем <i>n</i> можно раскрасить числа 1, 2, ..., 14 в красный и синий цвета так, чтобы для каждого числа  <i>k</i> = 1, 2, ..., <i>n</i>  нашлись пара синих чисел, разность между которыми равна <i>k</i>, и пара красных чисел, разность между которыми тоже равна <i>k</i>?

На бесконечной ленте выписаны в ряд числа. Первой идёт единица, а каждое следующее число получается из предыдущего прибавлением к нему наименьшей ненулевой цифры его десятичной записи. Сколько знаков в десятичной записи числа, стоящего в этом ряду на 9·1000¹⁰⁰⁰-м месте?

На столе лежит 10 кучек с 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 орехами. Двое играющих берут по очереди по одному ореху. Игра заканчивается, когда на столе останется три ореха. Если это – три кучки по одному ореху, выигрывает тот, кто ходил вторым, иначе – его соперник. Кто из игроков может выиграть, как бы не играл соперник?

В треугольнике <i>ABC</i> стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> равны. Точка <i>D</i> внутри треугольника такова, что угол <i>ADC</i> вдвое больше угла <i>ABC</i>.

Докажите, что удвоенное расстояние от точки <i>B</i> до прямой, делящей пополам углы, смежные с углом <i>ADC</i>, равно  <i>AD + DC</i>.

При всяком ли натуральном  <i>n</i> > 2009  из дробей  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65061/problem_65061_img_2.gif">  можно выбрать две пары дробей с одинаковыми суммами?

В футбольном турнире участвовало 8 команд, причём каждая сыграла с каждой ровно по одному разу. Известно, что каждые две команды, сыгравшие между собой вничью, набрали в итоге разное число очков. Найдите наибольшее возможное общее число ничьих в этом турнире. (За выигрыш матча команде начисляется 3 очка, за ничью – 1, за поражение – 0.)

В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> некоторая точка диагонали <i>АС</i> принадлежит серединным перпендикулярам к сторонам <i>АВ</i> и <i>CD</i>, а некоторая точка диагонали <i>BD</i> принадлежит серединным перпендикулярам к сторонам <i>AD</i> и <i>ВС</i>. Докажите, что <i>ABCD</i> – прямоугольник.