Поскольку каждое число ряда, начиная со второго, больше предыдущего, 9·1000¹⁰⁰⁰-е его число больше 9·1000¹⁰⁰⁰, то есть в нём как минимум 3001 цифра. Обозначим n-е число ряда через a_n, и пусть k – наименьший номер, при котором в числе a_k 3002 цифры.

  Рассмотрим числа от 0 до  10³⁰⁰¹ – 1,  не имеющие единиц в десятичной записи. Дополнив каждое слева нулями до 3001 знака, мы получим все последовательности длины 3001 из цифр, отличных от единицы. Таких последовательностей 9³⁰⁰¹. Значит, и среди чисел a₁, ..., a_k–1 (все они не превосходят  10³⁰⁰¹ – 1)  не более 9³⁰⁰¹ чисел, не имеющих единицы в десятичной записи .

  Рассмотрим теперь процесс получения числа a_k из a₁. На каждом из  k – 1  шагов прибавляется число от 1 до 9, причём количество шагов, на которых прибавляется не единица, не превосходит 9³⁰⁰¹. Значит,  10³⁰⁰¹ – 1 ≤ a_k – a₁ ≤ 9·9³⁰⁰¹ + 1·(k – 1 – 9³⁰⁰¹) = k – 1 + 8·9³⁰⁰¹,  откуда

k ≥ 10³⁰⁰¹ 8·9³⁰⁰¹ > 9·10³⁰⁰⁰.  Действительно, для этого достаточно доказать, что  8·9³⁰⁰¹ < 10³⁰⁰⁰,   то есть что  (¹⁰/₉)³⁰⁰⁰ > 72.  Но согласно неравенству Бернулли (см. задачу 130899)  (¹⁰/₉)³⁰⁰⁰ > 1 + ³⁰⁰⁰/₉ > 334.

  Итак, число с 3002 знаками появляется в последовательности далее указанного в условии места.

3001 знак.