Раскрасим вершины куба в два цвета так, чтобы концы каждого ребра были разноцветными. Пусть в вершинах одного цвета стоят числа a₁, a₂, a₃, a₄, а в вершинах другого – числа b₁, b₂, b₃, b₄, причём числа с одинаковыми номерами стоят в противоположных вершинах. Тогда, как легко проверить, указанная в условии сумма произведений будет равна  (a₁ + a₂ + a₃ + a₄)(b₁ + b₂ + b₃ + b₄) – (a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ + a₄b₄).  По неравенству Коши

причём равенство достигается только при  a₁+a₂+a₃+a₄=b₁+b₂+b₃+b₄  (1).   С другой стороны, сумма  S = a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+a₄b₄,  гдеa_iиb_i– числа 1², 2², ..., 8², минимальна тогда, когда 8² умножается на 1², 7² – на 2², 6² – на 3², 5² – на 4²   (2).   В самом деле, пусть 8² умножается наa², а 1² – наb². Понятно, что умножив 8² на 1², аa² – наb², мы уменьшим суммуS. Затем аналогично показываем, что мы уменьшимS, умножив 7² на 2², и т.д.   В силу того, что  1² + 4² + 6² + 7² = 102 = 2² + 3² + 5² + 8²,  можно добитьсяодновременноговыполнения условия максимальности (1) и условия минимальности (2): для этого надо в вершины одного цвета поставить числа 1², 4², 6² и 7², а в вершины другого – остальные таким образом, чтобы 8² и 1², 7² и 2², 6² и 3², 5² и 4² стояли в противоположных вершинах. Такая расстановка и даст искомый максимум сумм произведений, равный 102² – (8²·1² + 7²·2² + 6²·3² + 5²·4²) = 10404 – 984 = 9420.