Олимпиадные задачи из источника «1 (2009 год)»

На бесконечной ленте выписаны в ряд числа. Первой идёт единица, а каждое следующее число получается из предыдущего прибавлением к нему наименьшей ненулевой цифры его десятичной записи. Сколько знаков в десятичной записи числа, стоящего в этом ряду на 9·1000¹⁰⁰⁰-м месте?

На столе лежит 10 кучек с 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 орехами. Двое играющих берут по очереди по одному ореху. Игра заканчивается, когда на столе останется три ореха. Если это – три кучки по одному ореху, выигрывает тот, кто ходил вторым, иначе – его соперник. Кто из игроков может выиграть, как бы не играл соперник?

В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> выполнены соотношения  <i>AB = BD</i>,  ∠<i>ABD</i> = ∠<i>DBC</i>.  На диагонали <i>BD</i> нашлась такая точка <i>K</i>, что  <i>BK = BC</i>.

Докажите, что  ∠<i>KAD</i> = ∠<i>KCD</i>.

Можно ли вместо звёздочек вставить в выражение  НОК(*, *, ) – НОК(, *, *) = 2009  в некотором порядке шесть последовательных натуральных чисел так, чтобы равенство стало верным?

В стране Леонардии все дороги – с односторонним движением. Каждая дорога соединяет два города и не проходит через другие города. Департамент статистики вычислил для каждого города суммарное число жителей в городах, откуда в него ведут дороги, и суммарное число жителей в городах, куда ведут дороги из него. Докажите, что хотя бы для одного города первое число оказалось не меньше второго.

В треугольнике <i>ABC</i> стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> равны. Точка <i>D</i> внутри треугольника такова, что угол <i>ADC</i> вдвое больше угла <i>ABC</i>.

Докажите, что удвоенное расстояние от точки <i>B</i> до прямой, делящей пополам углы, смежные с углом <i>ADC</i>, равно  <i>AD + DC</i>.

При всяком ли натуральном  <i>n</i> > 2009  из дробей  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65061/problem_65061_img_2.gif">  можно выбрать две пары дробей с одинаковыми суммами?

У реки живет племя Мумбо-Юмбо. Однажды со срочным известием в соседнее племя одновременно отправились молодой воин Мумбо и мудрый шаман Юмбо. Мумбо побежал со скоростью 11 км/ч к ближайшему хранилищу плотов и затем поплыл на плоту в соседнее племя. А Юмбо, не торопясь, со скоростью 6 км/ч, пошел к другому хранилищу плотов и поплыл в соседнее племя оттуда. В итоге Юмбо приплыл раньше чем Мумбо. Река прямолинейна, плоты плывут со скоростью течения. Эта скорость всюду одинакова и выражается целым числом км/ч, не меньшим 6. Каково наибольшее возможное её значение?

В футбольном турнире участвовало 8 команд, причём каждая сыграла с каждой ровно по одному разу. Известно, что каждые две команды, сыгравшие между собой вничью, набрали в итоге разное число очков. Найдите наибольшее возможное общее число ничьих в этом турнире. (За выигрыш матча команде начисляется 3 очка, за ничью – 1, за поражение – 0.)

В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> некоторая точка диагонали <i>АС</i> принадлежит серединным перпендикулярам к сторонам <i>АВ</i> и <i>CD</i>, а некоторая точка диагонали <i>BD</i> принадлежит серединным перпендикулярам к сторонам <i>AD</i> и <i>ВС</i>. Докажите, что <i>ABCD</i> – прямоугольник.

В трёх клетках клетчатого листа записаны числа, а остальные клетки пусты. Разрешается выбрать два числа из разных непустых клеток и записать в пустую клетку их сумму; также можно выбрать числа <i>а, b, c</i> из трёх разных непустых клеток и записать в пустую клетку число  <i>ab + с</i>².  Докажите, что при помощи нескольких таких операций можно записать в одну из клеток квадрат суммы трёх исходных чисел (какими бы они ни были).

На столе лежат 7 карточек с цифрами от 0 до 6. Двое по очереди берут по одной карточке. Выигрывает тот, кто впервые из своих карточек сможет составить натуральное число, делящееся на 17. Кто выиграет при правильной игре – начинающий или его противник?

Имеются чашечные весы и 100 монет, среди которых несколько (больше 0, но меньше 99) фальшивых. Все фальшивые монеты весят одинаково, все настоящие тоже весят одинаково, при этом фальшивая монета легче настоящей. Можно делать взвешивание на весах, заплатив перед взвешиванием одну из монет (неважно, фальшивую или настоящую). Докажите, что можно с гарантией обнаружить настоящую монету.

По кругу выписаны числа 1, 2, 3, ..., 10 в некотором порядке. Петя вычислил 10 сумм всех троек соседних чисел и написал на доске наименьшее из вычисленных чисел. Какое наибольшее число могло быть написано на доске?

Точка <i>К</i> – середина гипотенузы <i>АВ</i> прямоугольного равнобедренного треугольника <i>ABC</i>. Точки <i>L</i> и <i>М</i> выбраны на катетах <i>ВС</i> и <i>АС</i> соответственно так, что  <i>BL = СМ</i>.  Докажите, что треугольник <i>LMK</i> – также прямоугольный равнобедренный.

Гриб называется <i>плохим</i>, если в нём не менее 10 червей. В лукошке 90 плохих и 10 хороших грибов. Могут ли все грибы стать хорошими после того, как некоторые черви переползут из плохих грибов в хорошие?