Олимпиадные задачи из источника «2 (2010 год)»

Среди 100 монет есть четыре фальшивых. Все настоящие монеты весят одинаково, фальшивые – тоже, фальшивая монета легче настоящей.

Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь найти хотя бы одну настоящую монету?

Докажите, что для произвольных <i>a, b, с</i> равенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65082/problem_65082_img_2.gif">   выполнено тогда и только тогда, когда выполнено равенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65082/problem_65082_img_3.gif">.

В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> углы <i>B</i> и <i>D</i> равны,  <i>CD</i> = 4<i>BC</i>,  а биссектриса угла <i>A</i> проходит через середину стороны <i>CD</i>.

Чему может быть равно отношение  <i>AD</i> : <i>AB</i>?

На полке в произвольном порядке стоят десять томов энциклопедии, пронумерованных от 1 до 10. Разрешается менять местами любые два тома, между которыми стоит не меньше четырёх других томов. Всегда ли можно расставить все тома по возрастанию номеров?

В вершинах куба расставили числа 1², 2², ..., 8² (в каждую из вершин – по одному числу). Для каждого ребра посчитали произведение чисел в его концах. Найдите наибольшую возможную сумму всех этих произведений.

В четырёхугольнике <i>ABCD </i>сторона <i>AB</i> равна диагонали <i>AC</i> и перпендикулярна стороне <i>AD</i>, а диагональ <i>AC</i> перпендикулярна стороне <i>CD</i>. На стороне <i>AD</i> взята такая точка <i>K</i> , что  <i>AC = AK</i>.  Биссектриса угла <i>ADC</i> пересекает <i>BK</i> в точке <i>M</i>. Найдите угол <i>ACM</i>.

В Швамбрании некоторые города связаны двусторонними беспосадочными авиарейсами. Рейсы разделены между тремя авиакомпаниями, причём если какая-то авиакомпания обслуживает линию между городами А и Б, то самолёты других компаний между этими городами не летают. Известно, что из каждого города летают самолёты всех трёх компаний. Докажите, что можно, вылетев из некоторого города, вернуться в него, воспользовавшись по пути рейсами всех трёх компаний и не побывав ни в одном из промежуточных городов дважды.

Занумеруем все простые числа в порядке возрастания:  <i>p</i>₁ = 2,  <i>p</i>₂ = 3,  ... .

Может ли среднее арифметическое   <img align="middle" src="/storage/problem-media/65076/problem_65076_img_2.gif">   при каком-нибудь  <i>n</i> ≥ 2  быть простым числом?

Биссектрисы углов <i>A</i> и <i>C</i> трапеции <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>P</i>, а биссектрисы углов <i>B</i> и <i>D</i> – в точке <i>Q</i>, отличной от <i>P</i>.

Докажите, что если отрезок <i>PQ</i> параллелен основанию <i>AD</i>, то трапеция равнобокая.

При каком наибольшем <i>n</i> можно раскрасить числа 1, 2, ..., 14 в красный и синий цвета так, чтобы для каждого числа  <i>k</i> = 1, 2, ..., <i>n</i>  нашлись пара синих чисел, разность между которыми равна <i>k</i>, и пара красных чисел, разность между которыми тоже равна <i>k</i>?

В компании из шести человек любые пять могут сесть за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми.

Докажите, что и всю компанию можно усадить за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми.

Незнайка выписал по кругу 11 натуральных чисел. Для каждых двух соседних чисел он посчитал их разность (из большего вычел меньшее). В результате среди найденных разностей оказалось четыре единицы, четыре двойки и три тройки. Докажите, что Незнайка где-то допустил ошибку.

Даны натуральные числа <i>a</i> и <i>b</i>, причём  <i>a</i> < 1000.  Докажите, что если <i>a</i>²¹ делится на <i>b</i>¹⁰, то <i>a</i>² делится на <i>b</i>.

На гипотенузе <i>BC</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> выбрана точка <i>K</i> так, что  <i>AB = AK</i>.  Отрезок <i>AK</i> пересекает биссектрису <i>CL</i> в её середине.

Найдите острые углы треугольника <i>ABC</i>.

Найдите какие-нибудь семь последовательных натуральных чисел, каждое из которых можно изменить (увеличить или уменьшить) на 1 таким образом, чтобы произведение семи полученных в результате чисел равнялось произведению семи исходных чисел.

Однажды барон Мюнхгаузен, вернувшись с прогулки, рассказал, что половину пути он шёл со скоростью 5 км/ч, а половину времени, затраченного на прогулку, – со скоростью 6 км/ч. Не ошибся ли барон?