Задача
Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD, в котором AB = CD, выбрана точка P таким образом, что сумма углов PBA и PCD равна 180°.
Докажите, что PB + PC < AD.
Решение
Построим на продолжении луча PC за точку C точку K таким образом, что CK = BP. Треугольники ABP и DCK равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому DK = AP и ∠BAP = ∠CDK.
Построим параллелограмм PKDL. Так как ∠ABC + ∠BCD > 180°, то ∠BAD + ∠ADC < 180°, откуда
∠APD = 180° – ∠PAD – ∠PDA > (∠BAD – ∠PAD) + (∠ADC – ∠PDA) = ∠BAP + ∠PDC = ∠PDK – ∠DPL. Следовательно, луч PL пойдёт внутрь угла APD. Но AP = DK = LP, поэтому точка D будет с той же стороны от серединного перпендикуляра к AL, что и точка L. Поэтому
AD > DL = PK = PC + PB.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь