Олимпиадные задачи из источника «Московская математическая регата» для 7 класса - сложность 2 с решениями

Натуральные числа <i>а, b, c</i> и <i>d</i> таковы, что  <i>ab = cd</i>.  Может ли число  <i>a + b + c + d</i>  оказаться простым?

На стороне <i>ВС</i> равностороннего треугольника <i>АВС</i> отмечены точки <i>K</i> и <i>L</i> так, что  <i>BK = KL = LC</i>,  а на стороне <i>АС</i> отмечена точка <i>М</i> так,

что  <i>АМ</i> = &frac13; <i>AC</i>.  Найдите сумму углов <i>AKM</i> и <i>ALM</i>.

Для чисел <i>а, b</i> и <i>с</i>, отличных от нуля, выполняется равенство:  <i>a</i>²(<i>b + c – a</i>) = <i>b</i>²(<i>c + a – b</i>) = <i>c</i>²(<i>a + b – c</i>).   Следует ли из этого, что  <i>а = b = c</i>?

В коробке лежат 2011 белых и 2012 чёрных шаров. Наугад вытаскиваются два шара. Если они одного цвета, то их выкидывают и кладут в коробку чёрный шар. Если они разного цвета, то выкидывают чёрный, а белый кладут обратно. Процесс продолжается до тех пор, пока в коробке не останется один шар. Какого он цвета?

В прямоугольнике <i>АВСD</i> точка <i>Р</i> – середина стороны <i>АВ</i>, а точка <i>Q</i> – основание перпендикуляра, опушенного из вершины <i>С</i> на <i>PD</i>.

Докажите, что  <i>BQ = BC</i>.

Является ли простым число  2011·2111 + 2500?

Разрежьте квадрат 4×4 по линиям сетки на 9 прямоугольников так, чтобы равные прямоугольники не соприкасались ни сторонами, ни вершинами.

Шахматист сыграл в турнире 20 партий и набрал 12,5 очков. На сколько партий больше он выиграл, чем проиграл?

Существуют ли пять таких двузначных составных чисел, что каждые два из них взаимно просты?

В треугольниках <i>АВС</i> и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁:  ∠<i>А</i> = ∠<i>А</i>₁,  равны высоты, проведённые из вершин <i>В</i> и <i>В</i>₁, а также равны медианы, проведённые из вершин <i>С</i> и <i>С</i>₁. Обязательно ли эти треугольники равны?

Существуют ли такие целые числа <i>x, y</i> и <i>z</i>, для которых выполняется равенство:  (<i>x – y</i>)³ + (<i>y – z</i>)³ + (<i>z – x</i>)³ = 2011?

Какое наибольшее количество точек самопересечения может иметь замкнутая ломаная, в которой 7 звеньев?

Медиана треугольника в полтора раза больше стороны, к которой она проведена. Найдите угол между двумя другими медианами.

Девять лыжников ушли со старта по очереди и прошли дистанцию – каждый со своей постоянной скоростью. Могло ли оказаться, что каждый лыжник участвовал ровно в четырёх обгонах? (В каждом обгоне участвуют ровно два лыжника – тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.)

Натуральные числа от 1 до 200 разбили на 50 множеств.

Докажите, что в одном из них найдутся три числа, являющиеся длинами сторон некоторого треугольника.

В коммерческом турнире по футболу участвовало пять команд. Каждая должна была сыграть с каждой из остальных ровно один матч. В связи с финансовыми трудностями организаторы некоторые игры отменили. В итоге оказалось, что все команды набрали различное число очков и ни одна команда в графе набранных очков не имеет нуля. Какое наименьшее число игр могло быть сыграно в турнире, если за победу начислялось три очка, за ничью – одно, за поражение – ноль?

Какое наибольшее число фишек можно поставить на клетки шахматной доски так, чтобы на каждой горизонтали, вертикали и диагонали (не только на главных) находилось чётное число фишек?

Целые числа <i>x, y</i> и <i>z</i> таковы, что  (<i>x – y</i>)(<i>y – z</i>)(<i>z – x</i>) = <i>x + y + z</i>.  Докажите, что число  <i>x + y + z</i>  делится на 27.

Несколько школьников ходили за грибами. Школьник, набравший наибольшее количество грибов, собрал &frac15; общего количества грибов, а школьник, набравший наименьшее количество грибов, собрал ¹/₇ часть от общего количества. Сколько было школьников?

а) Для каждого трёхзначного числа берём произведение его цифр, а затем эти произведения, вычисленные для всех трёхзначных чисел, складываем. Сколько получится? б) Тот же вопрос для четырёхзначных чисел.

Докажите, что если каждое из двух чисел является суммой квадратов двух целых чисел, то и их произведение является суммой квадратов двух целых чисел.

Трое рабочих копают яму. Они работают по очереди, причём каждый из них работает столько времени, сколько нужно двум другим, чтобы вырыть половину ямы. Работая таким образом, они выкопали яму. Во сколько раз быстрее трое рабочих выкопают такую же яму, если будут работать одновременно?

Существует ли выпуклый четырёхугольник, у которого сумма длин диагоналей не меньше периметра?

Какое наибольшее количество прямоугольников 41 можно разместить в квадрате 66 (не нарушая границ клеток)?

Отрезки <i>АС</i> и <i>BD</i> пересекаются в точке <i>О</i>. Периметр треугольника <i>АВС</i> равен периметру треугольника <i>АВD</i>, а периметр треугольника <i>ACD</i> равен периметру треугольника <i>BCD</i>. Найдите длину <i>АО</i>, если <i>ВО</i> = 10 см.