Олимпиадная задача: Необычное равенство многочленов и доказательство от противного

  0 = a²(b + c – a) – b²(c + a – b) = (a² – b²)c – (a² + b²)(a – b) = (a – b)(ac + bc – a² – b²)     (1).

  Аналогично  (b – c)(ba + ca – b² – c²) = 0     (2)

и  (c – a)(cb + ab – c² – a²) = 0     (3).

  Пусть  a = b.  Тогда из равенства (2) получим, что  с(a – c)² = 0,  откуда, учитывая, что  с ≠ 0,  следует, что и  с = a.

  Аналогично все числа равны, если  a = c  или  b = c.

  Пусть все числа различны. Тогда  a² + b² – ac – bc = b² + c² – ab – ac = c² + a² – bc – ab = 0.  Складывая, получим:

0 = 2a² + 2b² + 2c² – 2ab – 2ac – 2bc = (a – b)² + (b – c)² + (a – c)² = 0.  Противоречие.

Следует.