Олимпиадные задачи из источника «2000/01»

Докажите, что среди чисел вида 19991999...19990...0 найдётся хотя бы одно, которое делится на 2001.

Про квадратный трехчлен  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>ax</i>² – <i>ax</i> + 1  известно, что  | <i>f</i>(<i>x</i>)| ≤ 1  при  0 ≤ <i>x</i> ≤ 1.  Найдите наибольшее возможное значение <i>а</i>.

Корни уравнения  <i>x</i>² + <i>ax</i> + 1 = <i>b</i>  – целые, отличные от нуля числа. Докажите, что число  <i>a</i>² + <i>b</i>²  является составным.

Диагонали равнобокой трапеции<i>АВСD</i>с боковой стороной<i>АВ</i>пересекаются в точке<i>Р</i>. Верно ли, что центр окружности, описанной около трапеции, лежит на окружности, описанной около треугольника<i>ABP</i>?

Докажите, что если каждое из двух чисел является суммой квадратов двух целых чисел, то и их произведение является суммой квадратов двух целых чисел.

В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> точки <i>E, F</i> и <i>G</i> – середины сторон <i>AB, BC</i> и <i>AD</i> соответственно, причём  <i>GE</i> ⊥ <i>AB</i>,  <i>GF</i> ⊥ <i>BC</i>.  Найдите угол <i>ACD</i>.

На координатной плоскости изобразите все точки, координаты которых являются решениями уравнения:  <i>y</i>² – |<i>y</i>| = <i>x</i>² – |<i>x</i>|.

Назовём натуральное число "замечательным", если оно – самое маленькое среди всех натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр.

Сколько существует трёхзначных замечательных чисел?

Биссектриса треугольника делит одну из его сторон на отрезки 3 см и 5 см. В каких границах изменяется периметр треугольника?

Квадратный трехчлен  <i>y</i> = <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>  не имеет корней и  <i>а + b + c</i> > 0.  Найдите знак коэффициента <i>с</i>.

Дано число: 123456789101112... . Какая цифра стоит на 2000-м месте?

Являются ли подобными два прямоугольника: картина в рамке и картина без рамки, если ширина рамки всюду одинакова (см. рис.)? <center><img src="/storage/problem-media/86509/problem_86509_img_2.png"></center>

Решая задачу:   "Какое значение принимает выражение  <i>x</i>²⁰⁰⁰ + <i>x</i>¹⁹⁹⁹ + <i>x</i>¹⁹⁹⁸ + 1000<i>x</i>¹⁰⁰⁰ + 1000<i>x</i>⁹⁹⁹ + 1000<i>x</i>⁹⁹⁸ + 2000<i>x</i>³ + 2000<i>x</i>² + 2000<i>x</i> + 3000

(<i>x</i> – действительное число), если  <i>x</i>² + <i>x</i> + 1 = 0?",  Вася получил ответ 3000. Прав ли Вася?

Рассмотрим все моменты времени, когда часовая и минутная стрелки часов лежат на одной прямой, образуя развёрнутый угол.

Найдутся ли среди таких прямых две взаимно перпендикулярные?

Расстояние между серединами диагоналей трапеции равно 5 см, а ее боковые стороны имеют длины 6 см и 8 см. Найдите расстояние между серединами оснований.

Найдите все значения <i>а</i>, для которых выражения   <i>а</i> + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/86505/problem_86505_img_2.gif">   и   ¹/_<i>а</i> – <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/86505/problem_86505_img_2.gif">   принимают целые значения.

Трое рабочих копают яму. Они работают по очереди, причём каждый из них работает столько времени, сколько нужно двум другим, чтобы вырыть половину ямы. Работая таким образом, они выкопали яму. Во сколько раз быстрее трое рабочих выкопают такую же яму, если будут работать одновременно?

К окружности с диаметром<i>АС</i>проведена касательная<i>ВС</i>. Отрезок<i>АВ</i>пересекает окружность в точке<i>D</i>. Через точку<i>D</i>проведена еще одна касательная к окружности, пересекающая отрезок<i>ВС</i>в точке<i>K</i>. В каком отношении точка<i>K</i>разделила отрезок<i>ВС</i>?

Укажите все пары  (<i>x</i>; <i>y</i>),  для которых выполняется равенство   (<i>x</i>⁴ + 1)(<i>y</i>⁴ + 1) = 4<i>x</i>²<i>y</i>².

Найдите все натуральные <i>m</i> и <i>n</i>, для которых  <i>m</i>! + 12 = <i>n</i>².

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> угол <i>B</i> равен 60°, <i>AM</i> и <i>CN</i> – его высоты, а <i>Q</i> – середина стороны <i>AC</i>. Докажите, что треугольник <i>MNQ</i> – равносторонний.

Решите систему уравнений:     1 –<i>x</i>₁<i>x</i>₂= 0,     1 –<i>x</i>₂<i>x</i>₃= 0,     ...     1 –<i>x</i>₂₀₀₀<i>x</i>₂₀₀₁= 0,     1 –<i>x</i>₂₀₀₁<i>x</i>₁= 0.

Через центр окружности проведены еще четыре окружности, касающиеся данной (см. рис.). Сравните площади фигур, выделенных на рисунке черным и серым цветом соответственно. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/86498/problem_86498_img_2.gif"> </div>

Существует ли выпуклый четырёхугольник, у которого сумма длин диагоналей не меньше периметра?

Решите неравенство: |<i>x</i>+ 2000| < |<i>x</i>- 2001|.