Олимпиадная задача по планиметрии: докажите равенство BQ = BC для прямоугольника
Задача
В прямоугольнике АВСD точка Р – середина стороны АВ, а точка Q – основание перпендикуляра, опушенного из вершины С на PD.
Докажите, что BQ = BC.
Решение
Решение 1:Пусть прямые DP и BC пересекаются в точке М (рис. слева). Прямоугольные треугольники DAP и MBP равны (по катету и острому углу). Следовательно, МВ = AD = BC. Таким образом, QB – медиана прямоугольного треугольника MQC, значит, BQ = ½ МC = BC.
Решение 2:Пусть K – середина CD, L – середина CQ. Тогда BCKP – прямоугольник, а BKDP – параллелограмм (рис. справа). Диагонали прямоугольника BCKP пересекаются в их общей середине – точке O. Прямая BK содержит среднюю линию OK треугольника PCD, а значит, и среднюю линию OL треугольника PCQ. Таким образом, BL – медиана и высота (поскольку BK || PD) треугольника CBQ. Следовательно, он равнобедренный.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь