Олимпиадные задачи из источника «2013/14»
Какое наибольшее число фишек можно поставить на клетки шахматной доски так, чтобы на каждой горизонтали, вертикали и диагонали (не только на главных) находилось чётное число фишек?
Из шахматной доски (размером 8×8) вырезали центральный квадрат размером 2×2.
Можно ли оставшуюся часть доски разрезать на равные фигурки в виде буквы "Г", состоящие из четырёх клеток?
На сторонах <i>BC</i> и <i>CD</i> квадрата <i>ABCD</i> отмечены точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно так, что лучи <i>AM</i> и <i>AN</i> делят угол <i>BAD</i> на три равные части. <i>ME</i> – высота треугольника <i>MAN</i>. Найдите угол <i>EDN</i>.
В соревнованиях велогонщиков на круговом треке приняли участие Вася, Петя и Коля, стартовав одновременно. Вася каждый круг проезжал на две секунды быстрее Пети, а Петя – на три секунды быстрее Коли. Когда Вася закончил дистанцию, Пете осталось проехать один круг, а Коле – два круга. Сколько кругов составляла дистанция?
Учительница записала на доске два натуральных числа. Лёня умножил первое число на сумму цифр второго и получил 201320132013. Федя умножил второе число на сумму цифр первого и получил 201420142014. Не ошибся ли кто-то из ребят?
В равнобедренном треугольнике <i>АВС</i> угол <i>В</i> равен 30°, <i>АВ = ВС</i> = 6. Проведены высота <i>CD</i> треугольника <i>АВС</i> и высота <i>DE</i> треугольника <i>BDC</i>.
Найдите <i>ВЕ</i>.
Два поезда, в каждом из которых по 20 одинаковых вагонов, двигались навстречу друг другу по параллельным путям с постоянными скоростями. Ровно через 36 секунд после встречи их первых вагонов пассажир Вова, сидя в купе четвертого вагона, поравнялся с пассажиром встречного поезда Олегом, а еще через 44 секунды последние вагоны поездов полностью разъехались. В каком по счету вагоне ехал Олег?
По кругу стоят 12 детей. Мальчики всегда говорят правду мальчикам и врут девочкам, а девочки всегда говорят правду девочкам и врут мальчикам. Каждый из них сказал одну фразу своему соседу справа: "Ты – мальчик" или "Ты – девочка". Таких фраз оказалось поровну. Сколько мальчиков и сколько девочек стоит по кругу?
Покажите, как разрезать фигуру, изображённую на рисунке, на восемь равных частей пятью прямолинейными разрезами.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/64789/problem_64789_img_2.gif"></div>
Число <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64788/problem_64788_img_2.gif"> записали в виде несократимой дроби. Найдите её знаменатель.
Найдите наибольшее четырёхзначное число, которое делится на 7 и записывается четырьмя различными цифрами.
В треугольнике <i>DEF</i> проведена медиана <i>DK</i>. Найдите углы треугольника, если ∠<i>KDE</i> = 70°, ∠<i>DKF</i> = 140°.
Тетрадь, ручка и карандаш стоят 120 рублей. А 5 тетрадей, 2 ручки и 3 карандаша стоят 350 рублей. Что дороже: две тетради или одна ручка?
Петя записал на компьютере число 1. Каждую секунду компьютер прибавляет к числу на экране сумму его цифр.
Может ли через какое-то время на экране появиться число 123456789?
Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, у которого сумма тупых углов равна 3000°?
Найдите наименьшее значение функции <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64677/problem_64677_img_2.gif">
Вокруг равнобедренного треугольника <i>ABC</i> (<i>AB = AC</i>) описана окружность. Касательная к ней в точке <i>В</i> пересекает луч <i>АС</i> в точке <i>D, Е</i> – середина стороны <i>АВ, Н</i> – основание перпендикуляра, опущенного из точки <i>D</i> на прямую <i>АВ</i>. Найдите длину <i>ЕН</i>, если <i>AD = a</i>.
Решите систему уравнений: <img align="middle" src="/storage/problem-media/64674/problem_64674_img_2.gif">.
Произведение четырёх последовательных положительных нечётных чисел оканчивается на 9. Найдите две предпоследние цифры этого произведения.
В каком отношении делит площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, биссектриса её острого угла?
Число <i>a</i> – корень уравнения <i>х</i><sup>11</sup> + <i>х</i><sup>7</sup> + <i>х</i><sup>3</sup> = 1. При каких натуральных значениях <i>n</i> выполняется равенство <i>a</i><sup>4</sup> + <i>a</i><sup>3</sup> = <i>a<sup>n</sup></i> + 1?
В турнире по игре в "крестики – нолики", проведённом по системе "проиграл – выбыл", участвовали 18 школьников. Каждый день играли одну партию, участников которой выбирали жребием из ещё не выбывших школьников. Каждый из шестерых школьников утверждает, что сыграл ровно четыре партии. Не ошибается ли кто-то из них?
В квадрате <i>ABCD</i> на стороне <i>ВС</i> взята точка <i>М</i>, а на стороне <i>CD</i> – точка <i>N</i> так, что ∠<i>MAN</i> = 45°.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>AMN</i> принадлежит диагонали <i>АС</i>.
Существует ли такой многочлен <i>f</i>(<i>x</i>) степени 6, что для любого <i>x</i> выполнено равенство <i>f</i>(sin<i>x</i>) + <i>f</i>(cos<i>x</i>) = 1?
Дана таблица размером 8×8, изображающая шахматную доску. За каждый шаг разрешается поменять местами любые два столбца или любые две строки. Можно ли за несколько шагов сделать так, чтобы верхняя половина таблицы стала белой, а нижняя половина – чёрной?