Олимпиадные задачи из источника «10 класс»

Какое наибольшее число фишек можно поставить на клетки шахматной доски так, чтобы на каждой горизонтали, вертикали и диагонали (не только на главных) находилось чётное число фишек?

Петя записал на компьютере число 1. Каждую секунду компьютер прибавляет к числу на экране сумму его цифр.

Может ли через какое-то время на экране появиться число 123456789?

Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, у которого сумма тупых углов равна 3000°?

Найдите наименьшее значение функции   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64677/problem_64677_img_2.gif">

Вокруг равнобедренного треугольника <i>ABC</i>  (<i>AB = AC</i>)  описана окружность. Касательная к ней в точке <i>В</i> пересекает луч <i>АС</i> в точке <i>D, Е</i> – середина стороны <i>АВ, Н</i> – основание перпендикуляра, опущенного из точки <i>D</i> на прямую <i>АВ</i>. Найдите длину <i>ЕН</i>, если  <i>AD = a</i>.

Решите систему уравнений: <img align="middle" src="/storage/problem-media/64674/problem_64674_img_2.gif">.

Произведение четырёх последовательных положительных нечётных чисел оканчивается на 9. Найдите две предпоследние цифры этого произведения.

В каком отношении делит площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, биссектриса её острого угла?

Число <i>a</i> – корень уравнения  <i>х</i>¹¹ + <i>х</i>⁷ + <i>х</i>³ = 1.  При каких натуральных значениях <i>n</i> выполняется равенство  <i>a</i>⁴ + <i>a</i>³ = <i>aⁿ</i> + 1?

В турнире по игре в "крестики – нолики", проведённом по системе "проиграл – выбыл", участвовали 18 школьников. Каждый день играли одну партию, участников которой выбирали жребием из ещё не выбывших школьников. Каждый из шестерых школьников утверждает, что сыграл ровно четыре партии. Не ошибается ли кто-то из них?

В квадрате <i>ABCD</i> на стороне <i>ВС</i> взята точка <i>М</i>, а на стороне <i>CD</i> – точка <i>N</i> так, что  ∠<i>MAN</i> = 45°.

Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>AMN</i> принадлежит диагонали <i>АС</i>.

Существует ли такой многочлен  <i>f</i>(<i>x</i>) степени 6, что для любого <i>x</i> выполнено равенство  <i>f</i>(sin<i>x</i>) + <i>f</i>(cos<i>x</i>) = 1?

Дана таблица размером 8×8, изображающая шахматную доску. За каждый шаг разрешается поменять местами любые два столбца или любые две строки. Можно ли за несколько шагов сделать так, чтобы верхняя половина таблицы стала белой, а нижняя половина – чёрной?

Даны две пересекающиеся плоскости, в одной из которых лежит произвольный треугольник площади <i>S</i>.

Существует ли его параллельная проекция на вторую плоскость, имеющая ту же площадь <i>S</i>?

Среднее арифметическое десяти различных натуральных чисел равно 15. Найдите наибольшее значение наибольшего из этих чисел.