Олимпиадные задачи из источника «8 класс»

Толя выложил в ряд 101 монету достоинством 1, 2 и 3 копейки. Оказалось, что между каждыми двумя копеечными монетами лежит хотя бы одна монета, между каждыми двумя двухкопеечными монетами лежат хотя бы две монеты, а между каждыми двумя трёхкопеечными монетами лежат хотя бы три монеты. Сколько трёхкопеечных монет могло быть у Толи?

На равных сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно так, что  <i>AC = CM</i>  и  <i>MN = NB</i>.  Высота треугольника, проведенная из вершины <i>B</i>, пересекает отрезок <i>CM</i> в точке <i>H</i>. Докажите, что <i>NH</i> – биссектриса угла <i>MNC</i>.

На диске хранится 2013 файлов размером 1 Мб, 2 Мб, 3 Мб, ..., 2012 Мб, 2013 Мб. Можно ли их распределить по трём папкам так, чтобы в каждой папке было одинаковое количество файлов и все три папки имели один и тот же размер (в Мб)?

Можно ли расставить шесть фотографов на площади таким образом, чтобы каждый из них мог сфотографировать ровно четырёх других? (Фотографы <i>А</i> и <i>В</i> могут сфотографировать друг друга, если на отрезке <i>АВ</i> нет других фотографов.)

В квадрате <i>АВСD</i> со стороной 1 точка <i>F</i> – середина стороны <i>ВС, Е</i> – основание перпендикуляра, опущенного из вершины <i>А</i> на <i>DF</i>.

Найдите длину <i>ВЕ</i>.

Три математика ехали в разных вагонах одного поезда. Когда поезд подъезжал к станции, математики насчитали на перроне 7, 12 и 15 скамеек. А когда поезд отъезжал, один из математиков насчитал скамеек в три раза больше, чем другой. А сколько скамеек насчитал третий?

Найдутся ли такие три натуральных числа, что сумма каждых двух из них – степень тройки?

Полуокружность с диаметром <i>AD</i> касается катета <i>BC</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> в точке <i>М</i> (см. рисунок).

Докажите, что <i>AM </i>– биссектриса угла <i>BAC</i>.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/64561/problem_64561_img_2.gif"></div>

Для чисел <i>а, b</i> и <i>с</i> выполняется равенство  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64560/problem_64560_img_2.gif">.  Следует ли из него, что  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64560/problem_64560_img_3.gif">?

Может ли разность квадратов двух простых чисел быть квадратом натурального числа?

Диагональ <i>BD</i> параллелограмма <i>ABCD</i> образует углы по 45° со стороной <i>BC</i> и высотой, проведённой из вершины <i>D</i> к стороне <i>АВ</i>.

Найдите угол <i>АСD</i>.

Найдите сумму цифр в десятичной записи числа 4¹²·5²¹.