Олимпиадные задачи из источника «11 класс»

Найдите все трёхзначные числа, квадраты которых оканчиваются на 1001.

Верно ли, что в любом треугольнике точка пересечения медиан лежит внутри треугольника, образованного основаниями биссектрис?

На координатной плоскости изображен график функции  <i>y = ax</i>² + <i>bx + c</i>  (см. рисунок).

На этой же координатной плоскости схематически изобразите график функции  <i>y = cx</i>² + 2<i>bx + a</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/64491/problem_64491_img_2.gif"></div>

Среди <i>n</i> рыцарей каждые двое – либо друзья, либо враги. У каждого из рыцарей ровно три врага, причём враги его друзей являются его врагами.

При каких <i>n</i> такое возможно?

Известно, что в неравностороннем треугольнике <i>ABC</i> точка, симметричная точке пересечения медиан относительно стороны <i>BC</i>, принадлежит описанной окружности. Докажите, что  ∠<i>BAC</i> < 60°.

Числа <i>x, y, z</i> и <i>t</i> лежат в интервале  (0, 1).  Докажите неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64488/problem_64488_img_2.gif"> < 4.

В однокруговом турнире участвуют 10 шахматистов. Через какое наименьшее количество туров может оказаться так, что единоличный победитель уже выявился досрочно? (В каждом туре участники разбиваются на пары. Выигрыш – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0).

Дан четырёхугольник <i>АВСD</i> площади 1. Из его внутренней точки <i>О</i> опущены перпендикуляры <i>OK, OL, OM</i> и <i>ON</i> на стороны <i>АВ, ВС, CD</i> и <i>DA</i> соответственно. Известно, что  <i>AK ≥ KB,  BL ≥ LC,  CM ≥ MD</i>  и  <i>DN ≥ NA</i>.  Найдите площадь четырёхугольника <i>KLMN</i>.

Сумма восьми чисел равна ⁴/₃. Оказалось, что сумма каждых семи чисел из этих восьми – положительна. Какое наименьшее целое значение может принимать наименьшее из данных чисел?

Может ли объединение двух треугольников оказаться 13-угольником?

На каждой грани правильного тетраэдра с ребром 1 во внешнюю сторону построены правильные тетраэдры. Четыре их вершины, не принадлежащие исходному тетраэдру, образовали новый тетраэдр. Найдите его рёбра.

Существует ли такое значение α, что все члены бесконечной последовательности cos α, cos 2α, ..., cos(2<i>ⁿα</i>), ... принимают отрицательные значения?

При каких натуральных <i>n</i> число  <i>n</i>² – 1  является степенью простого числа?

Окружность пересекает оси координат в точках  <i>А</i>(<i>a</i>, 0),  <i>B</i>(<i>b</i>, 0)  <i>C</i>(0, <i>c</i>)  и  <i>D</i>(0, <i>d</i>).  Найдите координаты её центра.

Для каких значений <i>x</i> выполняется неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64479/problem_64479_img_2.gif">