Олимпиадные задачи из источника «2013/14» - сложность 3 с решениями
Найдите наименьшее значение функции <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64677/problem_64677_img_2.gif">
В квадрате <i>ABCD</i> на стороне <i>ВС</i> взята точка <i>М</i>, а на стороне <i>CD</i> – точка <i>N</i> так, что ∠<i>MAN</i> = 45°.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>AMN</i> принадлежит диагонали <i>АС</i>.
Существует ли такой многочлен <i>f</i>(<i>x</i>) степени 6, что для любого <i>x</i> выполнено равенство <i>f</i>(sin<i>x</i>) + <i>f</i>(cos<i>x</i>) = 1?
Среди <i>n</i> рыцарей каждые двое – либо друзья, либо враги. У каждого из рыцарей ровно три врага, причём враги его друзей являются его врагами.
При каких <i>n</i> такое возможно?
Известно, что в неравностороннем треугольнике <i>ABC</i> точка, симметричная точке пересечения медиан относительно стороны <i>BC</i>, принадлежит описанной окружности. Докажите, что ∠<i>BAC</i> < 60°.
В однокруговом турнире участвуют 10 шахматистов. Через какое наименьшее количество туров может оказаться так, что единоличный победитель уже выявился досрочно? (В каждом туре участники разбиваются на пары. Выигрыш – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0).
Сумма восьми чисел равна <sup>4</sup>/<sub>3</sub>. Оказалось, что сумма каждых семи чисел из этих восьми – положительна. Какое наименьшее целое значение может принимать наименьшее из данных чисел?
На каждой грани правильного тетраэдра с ребром 1 во внешнюю сторону построены правильные тетраэдры. Четыре их вершины, не принадлежащие исходному тетраэдру, образовали новый тетраэдр. Найдите его рёбра.
Дан остроугольный треугольник <i>АВС</i>. Точки <i>B'</i> и <i>C'</i> симметричны его вершинам <i>В</i> и <i>С</i> относительно прямых <i>АС</i> и <i>АВ</i> соответственно. Описанные окружности треугольников <i>АВВ'</i> и <i>ACC'</i>, вторично пересекаются в точке <i>Р</i>. Докажите, что прямая <i>АР</i> проходит через центр <i>O</i> описанной окружности треугольника <i>АВС</i>.
Числа <i>x, y</i> и <i>z</i> таковы, что <img align="amsmiddle" src="/storage/problem-media/64428/problem_64428_img_2.gif">. Какие значения может принимать выражение <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64428/problem_64428_img_3.gif">?