Заметим, что выпуклый многоугольник не может иметь более трёх не тупых углов (если это не прямоугольник). Действительно, если таких углов больше трёх, то внешние углы, смежные с ними, – не острые, а это противоречит тому, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника (взятых по одному при каждой вершине) равна 360°.

  Таким образом, сумма углов данного многоугольника равна  3000° + S°,  где  0 ≤ S ≤ 270.  Пусть у него n сторон, тогда  180(n – 2) = 3000 + S,  то есть

n = 2 + (3000 + S) : 180  ⇔  n = 18 + (120 + S) : 180.  Учитывая, что n – натуральное число, получим:  S = 60;  n = 19  или  S = 240,  n = 20.

  19-угольник, у которого один острый угол величиной 60° и 18 тупых углов с заданной суммой, равно как и 20-угольник с тремя острыми углами, сумма которых 240°, и 17 тупых углов с заданной суммой "построить" несложно. Например, в первом случае отложим на окружности последовательно 19 хорд, соответствующих центральному углу 13¹/₃°. Продолжив концы крайних хорд до пересечения, получим 19-угольник, у которого 18 углов равны по 166²/₃°.

19 или 20.