Олимпиадные задачи из источника «2002 год» - сложность 3 с решениями
Пусть <i>AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub>, <i>CC</i><sub>1</sub> – высоты остроугольного треугольника <i>ABC, O<sub>A</sub>, O<sub>B</sub>, O<sub>C</sub></i> – центры вписанных окружностей треугольников <i>AB</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>, <i>BC</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>1</sub>, <i>CA</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub> соответственно; <i>T<sub>A</sub>, T<sub>B</sub>, T<sub>C</sub></i> – точки касания вписанной окружности треугольника <i>ABC</i> со сторо...
В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> точки <i>E</i> и <i>F</i> являются серединами сторон <i>BC</i> и <i>CD</i> соответственно. Отрезки <i>AE, AF</i> и <i>EF</i> делят четырёхугольник на четыре треугольника, площади которых равны (в каком-то порядке) последовательным натуральным числам. Каково наибольшее возможное значение площади треугольника <i>ABD</i>?
Биссектрисы углов<i> A </i>и<i> C </i>треугольника<i> ABC </i>пересекают описанную около него окружность в точках<i> E </i>и<i> D </i>соответственно. Отрезок<i> DE </i>пересекает стороны<i> AB </i>и<i> BC </i>в точках<i> F </i>и<i> G </i>. Пусть<i> I </i>– точка пересечения биссектрис треугольника<i> ABC </i>. Докажите, что четырёхугольник<i> BFIG </i>– ромб.
В треугольнике<i> ABC </i>медианы<i> AD </i>и<i> BE </i>пересекаются в точке<i> M </i>. Докажите, что если угол<i> AMB </i>а) прямой; б) острый, то<i> AC+BC ></i>3<i>AB </i>.
В возрастающей бесконечной последовательности натуральных чисел каждое число, начиная с 2002-го, является делителем суммы всех предыдущих чисел. Докажите, что в этой последовательности найдётся некоторое число, начиная с которого каждое число равно сумме всех предыдущих.
Докажите, что на графике функции <i>y = x</i>³ можно отметить такую точку <i>A</i>, а на графике функции <i>y = x</i>³ + |<i>x</i>| + 1 – такую точку <i>B</i>, что расстояние <i>AB</i> не превышает <sup>1</sup>/<sub>100</sub>.
Каждый зритель, купивший билет в первый ряд кинотеатра, занял одно из мест в первом ряду. Оказалось, что все места в первом ряду заняты, но каждый зритель сидит не на своём месте. Билетёр может менять местами соседей, если оба сидят не на своих местах. Всегда ли он может рассадить всех на свои места?
Остроугольный треугольник разрезали прямолинейным разрезом на две (не обязательно треугольные) части, затем одну из этих частей – опять на две части, и так далее: на каждом шаге выбирали любую из уже имеющихся частей и разрезали её (по прямой) на две. Через несколько шагов оказалось, что исходный треугольник распался на несколько треугольников. Могут ли все они быть тупоугольными?
В ряд расположили <i>n</i> лампочек и зажгли некоторые из них. Каждую минуту после этого все лампочки, горевшие на прошлой минуте, гаснут, а те негоревшие лампочки, которые на прошлой минуте соседствовали ровно с одной горящей лампочкой, загораются. При каких <i>n</i> можно так зажечь некоторые лампочки в начале, чтобы потом в любой момент нашлась хотя бы одна горящая лампочка?
В клетчатом прямоугольнике <i>m</i>×<i>n</i> каждая клетка может быть либо живой, либо мёртвой. Каждую минуту одновременно все живые клетки умирают, а те мёртвые, у которых было нечётное число живых соседей (по стороне), оживают.
Укажите все пары (<i>m, n</i>), для которых найдётся такая начальная расстановка живых и мёртвых клеток, что жизнь в прямоугольнике будет существовать вечно (то есть в каждый момент времени хотя бы одна клетка будет живой)?
Двое игроков по очереди выставляют на доску 65×65 по одной шашке. При этом ни в одной линии (горизонтали или вертикали) не должно быть больше двух шашек. Кто не может сделать ход – проиграл. Кто выигрывает при правильной игре?