Олимпиадные задачи из источника «9 класс»

Биссектрисы углов<i> A </i>и<i> C </i>треугольника<i> ABC </i>пересекают описанную около него окружность в точках<i> E </i>и<i> D </i>соответственно. Отрезок<i> DE </i>пересекает стороны<i> AB </i>и<i> BC </i>в точках<i> F </i>и<i> G </i>. Пусть<i> I </i>– точка пересечения биссектрис треугольника<i> ABC </i>. Докажите, что четырёхугольник<i> BFIG </i>– ромб.

Остроугольный треугольник разрезали прямолинейным разрезом на две (не обязательно треугольные) части, затем одну из этих частей – опять на две части, и так далее: на каждом шаге выбирали любую из уже имеющихся частей и разрезали её (по прямой) на две. Через несколько шагов оказалось, что исходный треугольник распался на несколько треугольников. Могут ли все они быть тупоугольными?

В ряд расположили <i>n</i> лампочек и зажгли некоторые из них. Каждую минуту после этого все лампочки, горевшие на прошлой минуте, гаснут, а те негоревшие лампочки, которые на прошлой минуте соседствовали ровно с одной горящей лампочкой, загораются. При каких <i>n</i> можно так зажечь некоторые лампочки в начале, чтобы потом в любой момент нашлась хотя бы одна горящая лампочка?

Найдите все целые числа <i>x</i> и <i>y</i>, удовлетворяющие уравнению  <i>x</i>⁴ – 2<i>y</i>² = 1.

Пусть <i>a, b, c</i> – стороны треугольника. Докажите неравенство  <i>a</i>³ + <i>b</i>³ + 3<i>abc > c</i>³.

Шеренга новобранцев стояла лицом к сержанту. По команде "налево" некоторые повернулись налево, некоторые - направо, а остальные - кругом. Всегда ли сержант сможет встать в строй так, чтобы с обеих сторон от него оказалось поровну новобранцев, стоящих к нему лицом?