Олимпиадная задача по планиметрии: равенство сторон шестиугольника в остроугольном треугольнике, 8–9 класс
Задача
Пусть AA1, BB1, CC1 – высоты остроугольного треугольника ABC, OA, OB, OC – центры вписанных окружностей треугольников AB1C1, BC1A1, CA1B1 соответственно; TA, TB, TC – точки касания вписанной окружности треугольника ABC со сторонами BC, CA, AB соответственно. Докажите, что все стороны шестиугольника TAOCTBOATCOB равны. Также доступны документы в формате TeX
Решение
Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC, a r – её радиус.
Как известно, треугольники B1AC1 и CAB подобны.
Пусть X – точка касания вписанной окружности треугольника B1AC1 со стороной AC1 (то есть с прямой AB). При указанном подобии точка TB переходит в X. Поэтому AX : ATB = AB1 : AB, то есть треугольники AB1B и AXTB тоже подобны. Значит, угол AXTB – тоже прямой, поэтому прямая TBX проходит через центр OA вписанной в треугольник B1AC1 окружности. Таким образом, TBOA ⊥ AB, то есть TBOA || ITC.
Аналогично, TCOA || ITB, то есть TBOATCI – параллелограмм. Значит, TBOA = ITC = r. Точно так же и все стороны шестиугольника равны r.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь