Олимпиадные задачи из источника «8 класс»

В треугольнике<i> ABC </i>медианы<i> AD </i>и<i> BE </i>пересекаются в точке<i> M </i>. Докажите, что если угол<i> AMB </i>а) прямой; б) острый, то<i> AC+BC ></i>3<i>AB </i>.

Дана окружность с диаметром <i>AB</i>. Другая окружность с центром в точке <i>A</i> пересекает отрезок <i>AB</i> в точке <i>C</i>, причём  <i>AC</i> < ½ <i>AB</i>.  Общая касательная двух окружностей касается первой окружности в точке <i>D</i>. Докажите, что прямая <i>CD</i> перпендикулярна <i>AB</i>.

В клетчатом прямоугольнике <i>m</i>×<i>n</i> каждая клетка может быть либо живой, либо мёртвой. Каждую минуту одновременно все живые клетки умирают, а те мёртвые, у которых было нечётное число живых соседей (по стороне), оживают.

Укажите все пары  (<i>m, n</i>),  для которых найдётся такая начальная расстановка живых и мёртвых клеток, что жизнь в прямоугольнике будет существовать вечно (то есть в каждый момент времени хотя бы одна клетка будет живой)?

Двое игроков по очереди выставляют на доску 65×65 по одной шашке. При этом ни в одной линии (горизонтали или вертикали) не должно быть больше двух шашек. Кто не может сделать ход – проиграл. Кто выигрывает при правильной игре?

Квадрат суммы цифр числа <i>A</i> равен сумме цифр числа <i>A</i>². Найдите все такие двузначные числа <i>A</i>.

На острове &frac23; всех мужчин женаты и &frac35; всех женщин замужем. Какая доля населения острова состоит в браке?