Олимпиадная задача по теории чисел: уравнение x⁴ – 2y² = 1 для 7-9 классов

Знаки x и y можно выбирать произвольно, поэтому будем искать только неотрицательные решения. Ясно, что x нечётно,  x = 2t + 1.  Тогда

x⁴ – 1 = (x – 1)(x + 1)(x² + 1) = 2t(2t + 2)(4t² + 4t + 2) = 2y².  Теперь видно, что y чётно,  y = 2u.  t(t + 1)(2t(t+1) + 1) = u².  Числа t,  t + 1  и  2t(t + 1) + 1  неотрицательны и попарно взаимно просты, а их произведение – полный квадрат. Значит, каждое из них также является полным квадратом. Это возможно только при  t = 0  (единственная пара последовательных полных квадратов – это 0 и 1). Тогда  u = 0,  x = ±1,  y = 0.

x = ±1,  y = 0.