Олимпиадная задача по математике на инварианты для 7–9 класса: новобранцы и сержант

Договоримся в случае, когда сержант стоит в строю, обозначать буквойmколичество человек, стоящих в строю слева от сержанта к нему лицом, а буквойn- количество человек, стоящих справа от сержанта к нему лицом.Пусть сначала сержант встанет в левый край шеренги. Тогда слева от него никого не будет (m=0). Если и справа от сержанта никто не будет стоять к нему лицом (n=0), то задача решена. В противном случае (n>0) пусть сержант идёт слева направо от человека к человеку. Если он проходит новобранца, стоявшего к нему спиной, то число m увеличивается на 1, а число n не изменяется. Если сержант проходит новобранца, стоявшего к нему лицом, то число n уменьшается на 1, а число m не изменяется. Иначе оба числа m и n остаются без изменений. Тем самым, число m-n сначала отрицательно, а в процессе движения сержанта вдоль строя может увеличиваться не более чем на 1 при прохождении каждого новобранца. Но когда сержант дойдёт до правого края, уже число n будет нулевым, а значит, число m-n будет неотрицательным. Итак, начав с отрицательного числа m-n и прибавляя к нему несколько раз по единице, мы получили неотрицательное число. Значит, в какой-то момент мы должны были получить ноль, то есть в тот момент m=n и с обеих сторон от сержанта лицом к нему находилось поровну новобранцев.

всегда.